<p>Berechne $z^3$ mit:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in trigonometrischer und exponentieller Polarform an.</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^3" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.965ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 868.6 844.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5799-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5799-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5799-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(465, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5799-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -1.536ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.955ex" height="4.202ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1178.8 10146 1857.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5800-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-LO-28" d="M180 96T180 250T205 541T266 770T353 944T444 1069T527 1150H555Q561 1144 561 1141Q561 1137 545 1120T504 1072T447 995T386 878T330 721T288 513T272 251Q272 133 280 56Q293 -87 326 -209T399 -405T475 -531T536 -609T561 -640Q561 -643 555 -649H527Q483 -612 443 -568T353 -443T266 -270T205 -41Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 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130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-5800-TEX-LO-29" d="M35 1138Q35 1150 51 1150H56H69Q113 1113 153 1069T243 944T330 771T391 541T416 250T391 -40T330 -270T243 -443T152 -568T69 -649H56Q43 -649 39 -647T35 -637Q65 -607 110 -548Q283 -316 316 56Q324 133 324 251Q324 368 316 445Q278 877 48 1123Q36 1137 35 1138Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 29.3)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1798.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2298.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-LO-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(597, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-63"></use><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1935, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2101.7, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-33"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3333.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4334.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4845.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6073.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6240.4, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-N-33"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7250.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-5800-TEX-LO-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in trigonometrischer und exponentieller Polarform an.</p>

<p>Berechne $z^4$ mit:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^4" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.965ex" height="1.929ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 868.6 852.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5805-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5805-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5805-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(465, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5805-TEX-N-34"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -1.511ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.885ex" height="4.153ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1167.8 10999 1835.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5806-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5806-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-5806-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path><path id="MJX-5806-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5806-TEX-LO-28" d="M180 96T180 250T205 541T266 770T353 944T444 1069T527 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<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

<p>Berechne die komplexe Zahl: </p>
<p>$$z=(i-1)^{127}$$</p>

<p>Berechne die komplexe Zahl: </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="z=(i-1)^{127}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.02ex" height="2.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -891 5754.7 1141" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1284-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1284-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1798.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2187.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2754.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3755, 0)"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4255, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-1284-TEX-N-37" transform="translate(1000, 0)"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Berechne $z^5$ mit:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z=\sqrt[5]{3}\left(\cos \frac{\pi}{20}+i \sin \frac{\pi}{20}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^5" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.965ex" height="1.912ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 868.6 844.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5819-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5819-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5819-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(465, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-5819-TEX-N-35"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z=\sqrt[5]{3}\left(\cos \frac{\pi}{20}+i \sin \frac{\pi}{20}\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -1.536ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.83ex" height="4.202ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1178.8 11859 1857.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5820-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5820-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 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434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-5820-TEX-LO-29" d="M35 1138Q35 1150 51 1150H56H69Q113 1113 153 1069T243 944T330 771T391 541T416 250T391 -40T330 -270T243 -443T152 -568T69 -649H56Q43 -649 39 -647T35 -637Q65 -607 110 -548Q283 -316 316 56Q324 133 324 251Q324 368 316 445Q278 877 48 1123Q36 1137 35 1138Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 29.3)"><g 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0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1935, 0)"><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2101.7, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(435, 676)"><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-N-32"></use><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-N-30" transform="translate(500, 0)"></use></g><rect width="1200" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3763.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4764.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5275.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-5820-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" 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<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

<p>Berechne $z^{12}$ mit:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z=\sqrt[6]{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{24}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{24}\right)\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z^{12}" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.765ex" height="1.912ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1222.1 844.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5812-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5812-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-5812-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5812-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-5812-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-5812-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z=\sqrt[6]{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{24}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{24}\right)\right)
\end{align*}" style="vertical-align: -1.511ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="35.753ex" height="4.153ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1167.8 15803 1835.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5813-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5813-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 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<p></p>
<p>Gib das Ergebnis in kartesischen Koordinaten an.</p>

<p>Berechne den Real- und Imaginärteil von</p>
<p>$$z=(\sqrt{3}+i \cdot 3)^{11}$$</p>

<p>Berechne den Real- und Imaginärteil von</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="z=(\sqrt{3}+i \cdot 3)^{11}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.915ex" height="2.821ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -996.8 7476.6 1246.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5826-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5826-TEX-N-3D" d="M56 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Potenzieren

Potenzieren einer komplexen Zahl

<div id=5f08492d727ea527929664d6 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Potenzieren einer komplexen Zahl</h2>
<ol>
<li>Überführe ggf. die zu potenzierende komplexe Zahl aus der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung:<br />\begin{align*} \Rightarrow z=r \cdot e^{i \varphi}=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Bestimme die geforderte Potenz der komplexen Zahl. Nutze hierfür:<br />
<ul>
<li>Exponentielle Polardarstellung: <br />\begin{align*}\quad z^{n}=\left(r \cdot e^{i \varphi}\right)^{n}=r^{n} \cdot e^{i n \varphi}\end{align*}</li>
<li>Trigonometrische Polardarstellung (Satz von Moivre): <br />\begin{align*}\quad z^{n}=r^{n}(\cos (n \varphi)+i \sin (n \varphi))\end{align*}</li>
</ul>
</li>
</ol>
</div></div>
