Eindimensionale Analysis

Kapazität von Kondensatoren

Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Das elektrisches Feld in der Umgebung von Punktladungen

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Schub

Gauß-Jordan-Algorithmus

Biegung

Regel von Sarrus (3x3)

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Magnetische Feldgrößen

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Magnetische Feldstärke, Flussdichte & Permeabilität

Ohmsches Gesetz

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 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153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" 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Erzwungene Schwingungen

Magnetischer Fluss

Analytische Kinematik

Harmonische Schwingung

Momentanpol

Physik für Maschinenbau

Grundlagen der ebenen Kinematik

Durchflutungsgesetz

Stoßvorgänge

Basis

Impuls und Drall

Stromführender Leiter im Magnetfeld

Arbeit und Energie

Bewegungsgleichung

Bewegter Leiter im Magnetfeld

Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Untervektorraum prüfen

Technische Mechanik

Grundbegriffe, Grundgrößen

Statik

Kreis mit Spule

Freie Schwingungen

Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Grundlagen

Allgemeine Netzwerkberechnung

Ebene Bewegung in Polarkoordinaten

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Unbekannte Kräfte ermitteln (Gleichgewicht)

Reale Spule

Kreisbewegung

Gaußverfahren

Lineare DGL

Allgemein

Räumliche Bewegung

Inversion einer Geraden

Eindimensionale Bewegung

Inversion eines Kreises

Kinematik des Punktes

Hochpass

Allgemeine ebene Bewegung

Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Rotation um eine feste Achse

Reihenschwingkreis

Systeme von starren Körpern

Parallelschwingkreis

Kinetik, Kinematik

Drehstromverbraucher

Zug und Druck

Sternschaltung

Grundarten der Belastung

Dreieckschaltung

Elastostatik, Festigkeitslehre

Maximum)

Trennung der Variablen (Separation)

Leistung bei symmetrischer Belastung (Drehstrom)

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Schaltvorgänge in RL- und RC-Schaltungen

Knotenpunktverfahren (analytisch)

Ohmsch-induktiver Gleichstromkreis

Triviale DGL

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Statische und kinematische Bestimmtheit (Fachwerke)

Regel von L`Hospital

Kirchhoffschen Gesetze

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion $f$, die auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig ist, jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ annimmt.  Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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Dieser Satz kann dir z.B. helfen, die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen.

Elektrische Feldgrößen 

Gleichspannung 

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

Darstellung von Sinusgrößen

Gerade ebene Balken

Torsion

Ebene Elastizitätstheorie

Aufgabenstellung

Zugstab

Haftung (Haftreibung)

Dünnwandige Druckbehälter

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck $(x-x_{0})^{n}$ interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Konvergenzradius bestimmen

Wann eine Potenzreihe konvergiert bzw. divergiert wird über den Konvergenzradius der Reihe angegeben. Wie du diesen Radius bestimmst und zusammen mit dem Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x-x_{0})^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4022.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-35-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-35-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-35-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2183.4, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3159, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-35-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> interpretierst erfährst du in diesem Kapitel.

Kraft- und Drehmomente

Ebener Spannungszustand

Funktionen (mehrdimensionale)

Die meisten Gleichungen besitzen eine oder mehrere Lösungen. Wie du diese Lösungen (Lösungsmenge) bestimmst lernst du hier.

Gleichungen

<p>Es seien die Vektoren $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in \mathbb{R}^{4}$ mit</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>a_{1}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\1 \\-1 \\-2</p>
<p>\end{array}\right), \quad a_{2}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>2 \\1 \\0 \\3</p>
<p>\end{array}\right), \quad a_{3}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>0 \\-1 \\2 \\7</p>
<p>\end{array}\right), \quad a_{4}=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-1 \\2 \\-1 \\1</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>
<p>gegeben. Prüfe ob die folgenden Vektoren $u, v$ als Linearkombinationen von $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ darstellbar sind und berechne ggf, diese Darstellung.</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>u=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>6 \\-4 \\2 \\-2</p>
<p>\end{array}\right), \quad v=\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\3 \\-1 \\2</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Vektor $v=\left( \begin{array}{} 4 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ als Linearkombination der folgenden Menge $M$:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}M=\left\{\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right)\right\}\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Vektor <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v=\left( \begin{array}{} 4 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.965ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 4846.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8005-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-8005-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-8005-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-8005-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-8005-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path 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<p>Prüfe ob der Vektor $v=\left( \begin{array}{c} 0 \\ -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array} \right)$ ein Element des folgenden Vektorraums ist:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}V=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \ \bigg| \ x=\lambda_{1}\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right) ; \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}\right\}\end{align*}</p>

<p>Gegeben sind die Vektoren:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}\begin{array}{l}</p>
<p>a_{1}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right), a_{2}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right), a_{3}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>0 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right) \\ \\</p>
<p>b_{1}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>0 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>0</p>
<p>\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right)</p>
<p>\end{array}\end{align*}</p>
<p></p>
<p>Stellen Sie den Vektor $c=a_{1}+a_{2}+a_{3}$ als Linearkombination der Vektoren $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ dar.</p>

<p>Ist der Vektor $x=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 7\end{array}\right)$ in der linearen Hülle $\langle u, v, w \rangle$ erhalten? Falls ja bestimme eine Linearkombination. </p>
<p></p>
<p>\begin{align*}\langle u, v, w \rangle =\left\langle\left(\begin{array}{c}</p>
<p>1 \\</p>
<p>2 \\</p>
<p>1</p>
<p>\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}</p>
<p>-2 \\</p>
<p>1 \\</p>
<p>3</p>
<p>\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}</p>
<p>4 \\</p>
<p>3 \\</p>
<p>-1</p>
<p>\end{array}\right)\right \rangle\end{align*}</p>

Linearkombination, Lineare Hüllen

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