Bestimme den Vektor $$\quad v=\left( \begin{array}{} 4 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$$ als Linearkombination der folgenden Menge $M$:
$$\quad\begin{align*}M=\left\{\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)\right\}\end{align*}$$

Prüfe ob der Vektor $$\quad v=\left( \begin{array}{c} 0 \\ -\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array} \right)$$ ein Element des folgenden Vektorraums ist:
$$\quad\begin{align*}V=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \ \bigg| \ x=\lambda_{1}\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right) ; \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}\right\}\end{align*}$$

Gegeben sind die Vektoren:
$$\begin{align*}\begin{array}{l}
a_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), a_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), a_{3}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \\ \\
b_{1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
0
\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right)
\end{array}\end{align*}$$
 
Stellen Sie den Vektor $c=a_{1}+a_{2}+a_{3}$ als Linearkombination der Vektoren $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ dar.

Ist der Vektor $x=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 7\end{array}\right)$ in der linearen Hülle $\langle u, v, w \rangle$
$$\quad\begin{align*}\langle u, v, w \rangle =\left\langle\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
3
\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}
4 \\
3 \\
-1
\end{array}\right)\right \rangle\end{align*}$$
erhalten?
 
Falls ja bestimme eine Linearkombination.

Es seien die Vektoren $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in \mathbb{R}^{4}$ mit
$$ \quad\begin{align*}
a_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\1 \\-1 \\-2
\end{array}\right), \quad a_{2}=\left(\begin{array}{l}
2 \\1 \\0 \\3
\end{array}\right), \quad a_{3}=\left(\begin{array}{c}
0 \\-1 \\2 \\7
\end{array}\right), \quad a_{4}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\2 \\-1 \\1
\end{array}\right)
\end{align*}$$
gegeben.
Prüfe ob die folgenden Vektoren $u, v$
$$\quad\begin{align*}
u=\left(\begin{array}{c}
6 \\-4 \\2 \\-2
\end{array}\right), \quad v=\left(\begin{array}{c}
1 \\3 \\-1 \\2
\end{array}\right)
\end{align*}$$
als Linearkombinationen von $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ darstellbar sind und berechne ggf, diese Darstellung.

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