Jakobi-Matrix (totale Ableitung)

Theorie:

Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen. 

Definition

Partielle Ableitung

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Vorgehen

Partiell ableiten

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.


Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung. 
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Hinweis

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

Anwendungen der partiellen Ableitung:

  • Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
  • Gradientenberechnung
  • Talorreihen
  • Ableitungen von impliziten Funktionen


Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :




Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen. 

Definition

Partielle Ableitung

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Vorgehen

Partiell ableiten

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.


Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung. 
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Hinweis

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

Anwendungen der partiellen Ableitung:

  • Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
  • Gradientenberechnung
  • Talorreihen
  • Ableitungen von impliziten Funktionen


Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :




Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix wird auch als Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix bezeichnet. Sie ist eine Matrix, die aus allen möglichen ersten Ableitungen einer Funktion besteht. Besonders in der Integralrechnung (beispielsweise wenn es um Substitution geht) spielt die Jacobi-Matrix oft eine große Rolle. 

Wenn eine Funktion die Form:


hat (Funktion mehrerer Veränderlicher) und alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen existieren, kannst du die Jacobi-Matrix an der Stelle berechnen.

Sie sieht dann folgendermaßen aus:

Vorgehen

Jacobi-Matrix berechnen

  1. Leite jeweils partiell nach allen Variablen ab.

  2. Trage diese partiellen Ableitungen an der Stelle so in die Form für die Jacobi-Matrix ein: 

Aufgaben:

Aufgabe 1

Bestimme die Jakobi-Matrix zu mit

Aufgabe 2

Berechne für die Funktion:

die Jakobi-Matrix.

Aufgabe 3

Bestimme die Jacobi-Matrix der folgenden Funktion an der angegebenen Stelle:

Aufgabe 4

Bestimme die Jacobi-Matrix der folgenden Funktion an der angegebenen Stelle:

Aufgabe 5

Gegeben sind die Funktionen:

 

Berechne die Jacobi-Matrix mit:

auf Arten:

  1. unter Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel.
  2. durch Einsetzen von in , dann Berechnung der Jacobi-Matrix.

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