<p>Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem (AWP):</p>
<p>\[</p>
<p>y^{\prime}=e^{x} \cdot \sin (y) , \quad y(1)=2</p>
<p>\]</p>
<p>Zeige mit dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der DGL in einer Umgebung von $x=1$</p>

<p>Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem (AWP):</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y^{\prime}=e^{x} \cdot \sin (y) , \quad y(1)=2
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.46ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 11253.1 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-408-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path 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<p>Zeige mit dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der DGL in einer Umgebung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x=1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-409-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-409-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-409-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-409-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-409-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-409-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimmen die Lösung des Anfangswertproblems:</p>
<p>\[</p>
<p>y^{\prime}(x)=x^{2}, \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}</p>
<p>\]</p>
<p>Zeige mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass die Lösung $y(x)=\frac{1}{3} x^{3}$ mit dem Anfangswert $y(0)=0$ eindeutig bestimmt ist.</p>

<p>Bestimmen die Lösung des Anfangswertproblems:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y^{\prime}(x)=x^{2}, \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0}
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.323ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 10308.9 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10597-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10597-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-10597-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10597-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 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<p>Zeige mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass die Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)=\frac{1}{3} x^{3}" style="vertical-align: -0.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.182ex" height="2.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 4942.7 1225.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10598-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 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data-mml-node="mo" transform="translate(1451, 0)"><use xlink:href="#MJX-10598-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2117.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-10598-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3173.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10598-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-10598-TEX-N-33"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3967.1, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-10598-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-10598-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> mit dem Anfangswert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(0)=0" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.148ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3601.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10599-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10599-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-10599-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-10599-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-10599-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 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<p>Zeige mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass das Anfangswertproblem<br />\[<br />y^{\prime}=y \cos x, \quad y(0)=1<br />\]</p>
<p>genau eine Lösung auf dem Intervall $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ besitzt.</p>

<p>Zeige mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass das Anfangswertproblem<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
y^{\prime}=y \cos x, \quad y(0)=1
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.28ex" height="2.396ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -809 9847.6 1059" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11541-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(490, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1012.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2068, 0)"><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2724.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-N-63"></use><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4062.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4229.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-11541-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" 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<p>genau eine Lösung auf dem Intervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.615ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 3365.8 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11542-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-11542-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-11542-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-11542-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-11542-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-11542-TEX-N-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(278, 0)"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1056, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1849.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2294.2, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3087.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11542-TEX-N-5D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besitzt.</p>

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Anfangswertproblem

<p><em>auch Anfangswertaufgabe oder Cauchy-Problem.<br /></em></p>
<p><em> </em></p>
<div id=5f09ed852bc566cb62f377bf class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
<p>Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also $y(x_n) = y_n$.</p>
</div></div>


<p><em>auch Anfangswertaufgabe oder Cauchy-Problem.<br /></em></p>
<p><em> </em></p>
<div id=5f09ed852bc566cb62f377bf class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem (AWP)</h2>
<p>Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x_n) = y_n" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.584ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4678.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3262-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3262-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3262-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3262-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3262-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3262-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-3262-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-3262-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(879,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-3262-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-3262-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1958.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3262-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2625,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3262-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3680.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-3262-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-3262-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>
</div></div>


<p>Häufig ist nur ein $x_0$ und ein $y_0$ (z.B. in der Form $y(2) = 4$) gegeben. <br />Um ein AWP zu lösen, löst du wie gewohnt die DGL, erstmal ohne die Anfangswerte zu beachten. <br />Die Parameter, die in deiner Lösung auftauchen, kannst du dann durch Einsetzen der gegebenen Anfangswerte ermitteln, indem du nach den Konstanten umstellst.</p>


<p>Häufig ist nur ein <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x_0" style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 607.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3263-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3263-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-3263-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-3263-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und ein <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y_0" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.096ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 926.6 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3264-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3264-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-3264-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-3264-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> (z.B. in der Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(2) = 4" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.148ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3601.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3265-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3265-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3265-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3265-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3265-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3265-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 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xlink:href="#MJX-3265-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></mjx-container>) gegeben. <br />Um ein AWP zu lösen, löst du wie gewohnt die DGL, erstmal ohne die Anfangswerte zu beachten. <br />Die Parameter, die in deiner Lösung auftauchen, kannst du dann durch Einsetzen der gegebenen Anfangswerte ermitteln, indem du nach den Konstanten umstellst.</p>


<div id=5f09ed272bc566cb62f37752 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL.<br /><br /></li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.<br />Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. <br /><br /></li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.<br /><br /></li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung $y(x)$ ein.</li>
</ol>
</div></div>

<div id=5f09ed272bc566cb62f37752 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Anfangswertproblem lösen</h2>
<ol>
<li>Löse die DGL.<br /><br /></li>
<li>Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.<br />Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. <br /><br /></li>
<li>Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.<br /><br /></li>
<li>Setze die berechneten Parameter in deine Lösung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.163ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1840 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3266-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3266-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3266-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3266-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-3266-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-3266-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-3266-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1451,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3266-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ein.</li>
</ol>
</div></div>

Satz von Picard-Lindelöf 

<p>Bei dem Satz von Picard-Lindelöf geht es um die Existenz der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Um den Satz von Picard-Lindelöf zu verstehen, müssen wir uns zunächst mit der lokalen und globalen Lipschitzstetigkeit befassen: </p>


<div id=5f19704dd929d93372e5e64f class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Globale Lipschitzbedingung</h2>
<p>Man sagt:</p>
<p>$f$ genügt in $G \subseteq \mathbb{R}^{2}$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ $\operatorname{mit} L \geq 0$, wenn gilt: </p>
<p> </p>
<p>\[\begin{array}{l}<br />\left|f\left(x, y_{1}\right)-f\left(x, y_{2}\right)\right| \leq L \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right| \text { für alle } <br />\left(x, y_{1}\right),\left(x, y_{2}\right) \in G<br />\end{array}\]</p>
<p> </p>
<p>Mit anderen Worten:</p>
<p>Wenn $f$ in $G$ eine <strong>beschränkte </strong>partielle Ableitung $f_{y}(x, y)$ besitzt, dann genügt $f$ in $G$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$.</p>
</div></div>


<div id=5f196f89d929d93372e5e370 class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Lokale Lipschitzbedinung</h2>
<p>Man sagt:</p>
<p>Wenn $f$ in $G$ eine <strong>stetige</strong> partielle Ableitung $f_{y}(x, y)$ besitzt, dann genügt $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.</p>
</div></div>


<div id=5f196f89d929d93372e5e370 class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Lokale Lipschitzbedinung</h2>
<p>Man sagt:</p>
<p>Wenn <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5036-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-5036-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5037-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-5038-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-5038-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(919.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-5038-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1308.5,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-5038-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1880.5,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-5038-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2325.1,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-5038-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2815.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-5038-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> besitzt, dann genügt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5039-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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</div></div>


<div id=5f1971b4d929d93372e5ea15 class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf</h2>
<p>Nach dem globalen Eindeutigkeitssatz gilt, dass ein Anfangswertproblem (AWP), das auf einem senkrechten Streifen $(x, y) \in[a, e] x \mathbb{R}^{n}$ eine globale Lipschitzbedingung erfüllt, auf dem kompletten Intervall $[a, e]$ eine eindeutige Lösung hat. </p>
</div></div>


<div id=5f1971b4d929d93372e5ea15 class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf</h2>
<p>Nach dem globalen Eindeutigkeitssatz gilt, dass ein Anfangswertproblem (AWP), das auf einem senkrechten Streifen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x, y) \in[a, e] x \mathbb{R}^{n}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.525ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7304.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5041-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-5041-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 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alt="[a, e]" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.515ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1995.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5042-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-5042-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-5042-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 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</div></div>


<div id=5f1971d3d929d93372e5ebba class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf</h2>
<p>Nach dem lokalen Eindeutigkeitssatz gilt, dass jedes Anfangswertproblem (AWP) zu einer DGL von der Form $y^{\prime}(x)=f(x, y)$ mit Anfangswert $y(a)=y_{a}$eindeutig gelöst werden kann, wenn die Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von $a$ gegeben ist.</p>
<p>Die Größe dieser Umgebung hängt dabei von $f(x, y)$ ab. </p>
</div></div>


<div id=5f1971d3d929d93372e5ebba class="mceNonEditable extraContainerDefinition"><div class="extraContainerDefinitionHeader mceNonEditable"><div class="icon-definition"></div>Definition</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf</h2>
<p>Nach dem lokalen Eindeutigkeitssatz gilt, dass jedes Anfangswertproblem (AWP) zu einer DGL von der Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y^{\prime}(x)=f(x, y)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.221ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 6285.7 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5043-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 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153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-5044-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-5044-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-5044-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(490,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-5044-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(879,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-5044-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1408,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-5044-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2074.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-5044-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3130.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-5044-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(523,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-5044-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>eindeutig gelöst werden kann, wenn die Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5045-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-5045-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gegeben ist.</p>
<p>Die Größe dieser Umgebung hängt dabei von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f(x, y)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.413ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2834.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5046-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-5046-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-5046-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-5046-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-5046-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-5046-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-5046-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-5046-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-5046-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-5046-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1955.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-5046-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2445.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-5046-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ab. </p>
</div></div>


<div id=5f197797d929d93372e5fab1 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Globale Lipschitzbedingung prüfen</h2>
<ol>
<li>Setze die Werte in $\left|f\left(x, y_{1}\right)-f\left(x, y_{2}\right)\right|$ ein und vereinfache den Ausdruck.<br /><br /></li>
<li>Versuche, den Ausdruck nach oben abzuschätzen.<br /><br /></li>
<li>Stelle den Ausdruck $\left|f\left(x, y_{1}\right)-f\left(x, y_{2}\right)\right| \leq L \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right|$ nach $L$ um, indem du durch $\left|y_{1}-y_{2}\right|$ teilst unter der Annahme, dass  $\left|y_{1}-y_{2}\right| \neq 0$.<br /><br /></li>
<li>Wenn du für $L$ gegen eine Konstante ($\ge 0$) abschätzen kannst, so liegt globale Lipschitz-Stetigkeit vor.</li>
</ol>
</div></div>


<div id=5f199b1ad929d93372e60831 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Lokale Lipschitzbedingung prüfen</h2>
<p>Untersuche, ob alle partiellen Ableitungen $\frac {\partial f} {\partial {y_i}}$ in einem Bereich $G$ existieren und stetig differenzierbar sind. Falls ja, so genügt $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung. </p>
</div></div>


<div id=5f199b1ad929d93372e60831 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Lokale Lipschitzbedingung prüfen</h2>
<p>Untersuche, ob alle partiellen Ableitungen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\frac {\partial f} {\partial {y_i}}" style="vertical-align: -1.11ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.208ex" height="3.351ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -990.5 1417.9 1481.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5054-TEX-I-1D715" d="M202 508Q179 508 169 520T158 547Q158 557 164 577T185 624T230 675T301 710L333 715H345Q378 715 384 714Q447 703 489 661T549 568T566 457Q566 362 519 240T402 53Q321 -22 223 -22Q123 -22 73 56Q42 102 42 148V159Q42 276 129 370T322 465Q383 465 414 434T455 367L458 378Q478 461 478 515Q478 603 437 639T344 676Q266 676 223 612Q264 606 264 572Q264 547 246 528T202 508ZM430 306Q430 372 401 400T333 428Q270 428 222 382Q197 354 183 323T150 221Q132 149 132 116Q132 21 232 21Q244 21 250 22Q327 35 374 112Q389 137 409 196T430 306Z"></path><path id="MJX-5054-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 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<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5055-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43A" xlink:href="#MJX-5055-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> existieren und stetig differenzierbar sind. Falls ja, so genügt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5056-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-5056-TEX-I-1D453"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5057-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43A" xlink:href="#MJX-5057-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> einer lokalen Lipschitzbedingung. </p>
</div></div>


Eindimensionale Analysis

Kompakt oder nicht?

Beweisaufgabe

Vektorbündel

Produkt- und Quotientenräume

Gleichstrom

Serlo 

Chien, Hrones, Reswick

Grundlagen

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

Wahr/Falsch

Lyapunov-Stabilität

(Lokal) Kompakte Räume

Beobachtbarkeit

Steuerbarkeit

Mannigfaltigkeiten

Elektrische Feldgrößen 

Nyquist-Kriterium

Fundamentalgruppen

Erzwungene Schwingungen

MIMO-System

(Weg)zusammenhängende Räume

Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen

Reibung (Gleitreibung)

Kirchhoffschen Gesetze

reelle Zahlen

Sensitivität

Metrische Räume

Sprungfunktion

Supremum und Infimum

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Quicksort

Wärmetransport – Temperaturstrahlung

Sortieralgorithmen

Ideales Gas

Algorithmen

Wärmeenergie 

Informatik

Thermodynamik und Wärme (Kurzweil)

Satz von Green

Kinetische Theorie

Satz von Stokes

Schwingung

Satz von Gauß

Elastostatik, Festigkeitslehre

Uneigentliches Supremum und Infimum 

Grundarten der Belastung

Mehrfachintegrale berechnen

Zug und Druck

Folgen

Laplace-Transformation

Konvergenz und Divergenz

Kinetik, Kinematik

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale

Zustandsänderungen 

LR-Zerlegung

Wellen

Grundlagen der Wellenausbreitung

Rotation um eine feste Achse

Gedämpfte Schwingungen

Schwingungen

(Matrix-) Normen berechnen

Kinematik des Punktes

Häufungspunkte und Cauchy-Folgen

Eindimensionale Bewegung

Reihen

Quantenoptik

Kriterien für Konvergenz von Reihen 

Wellenoptik

Stetigkeit von Funktionen

 Radio- und Fotometrie

Ableitung

Geometrische Optik

Kurzweil Schwingungen

Kernumwandlung

Integrale

Molekülspektren

Linearität einer Abbildung prüfen

Bewegungsgleichung

Implizite Funktionen

Röntgenstrahlung

Kurzweil Wellen

Systematik des Atombaus

Geometrische Optik (Kurzweil)

Bahn- und Spinmagnetismus

Quantentheorie

Optische Instrumente

Grundlagen der ebenen Kinematik

Energieerhaltung für geschlossene Systeme

Bohr’sches Atommodell

Schwerpunkte paralleler angreifender Kräfte

Wärmeübertragung

Bilanzen offener Systeme

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung) | Aufgabensammlung mit 