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Satz von Picard-Lindelöf (Existenz der Lösung)

Theorie:

Anfangswertproblem

auch Anfangswertaufgabe oder Cauchy-Problem.

 

Definition

Anfangswertproblem (AWP)

Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also .

Häufig ist nur ein und ein (z.B. in der Form ) gegeben. 
Um ein AWP zu lösen, löst du wie gewohnt die DGL, erstmal ohne die Anfangswerte zu beachten. 
Die Parameter, die in deiner Lösung auftauchen, kannst du dann durch Einsetzen der gegebenen Anfangswerte ermitteln, indem du nach den Konstanten umstellst.

Vorgehen

Anfangswertproblem lösen

  1. Löse die DGL.

  2. Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.
    Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. 

  3. Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.

  4. Setze die berechneten Parameter in deine Lösung ein.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem (AWP):

Zeige mit dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der DGL in einer Umgebung von

Aufgabe 2

Bestimmen die Lösung des Anfangswertproblems:

Zeige mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass die Lösung mit dem Anfangswert eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe 3

Zeige mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf, dass das Anfangswertproblem

genau eine Lösung auf dem Intervall besitzt.

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