<p>Nutze den Satz von Stokes zum lösen des Oberflächenintegrals:  $\iint_{F} \operatorname{rot} \vec{f}(x, y, z) \cdot \vec{n} \ d F$ mit $\vec{f}(x, y, z):=\left(3 y,-x z, y z^{2}\right)$ und dem nach oben geöffneten Paraboloid $F:$</p><p> </p><p>\begin{align*}F:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 z=x^{2}+y^{2}, \text { beschränkt durch } Z=2\right\}\end{align*}</p><p> </p><p>Hinweis: Der Normalenvektor $\vec{n}$ sei nach außen gerichtet.</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p class="horizontalLayoutText">Es ist ein Kraftfeld im Raum $\mathbb{R}^{3}$ gegeben, mit $F(x, y, z)=\frac{1}{3}\left(x^{2}-2 y z, x z-y z, x y+y^{2}\right)^{\top}$. <br />Zusätzlich liegt noch ein Dreieck $S$ im ersten Oktanten vor, welches durch die Eckpunkte $P_{1}:(1,0,0); \ P_{2}:(0,2,0); \ P_{3}:(0,0,2)$ definiert ist.</p>
<p class="horizontalLayoutText"> </p>
<p class="horizontalLayoutText"><strong>Berechne:</strong></p>
<ol>
<li class="horizontalLayoutText">die Rotation von $F$</li>
<li class="horizontalLayoutText">die von $F$ geleistete Arbeit $W=\int_{\partial S} F \cdot d s$ längs der orientierten Randkurve $\partial S$ des vorliegenden Dreiecks. Nutze dabei den Satz von Stokes.</li>
</ol>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5f19c86a0709bd0064515acd.png" alt="Dreieck mit angetragenem Koordinatensystem und Orientierung" width="100%" /></p>
</div>
</div>
<p>Hinweis: Nutze für $S$ die Parameterdarstellung $\Phi(u, v)=(u, v, 2-2 u-v)^{T}$</p>

<p>Gegeben ist ein Vektorfeld $v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $v(x, y, z)=(x y, y z, x z)^{\top}$ und eine Fläche $F=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \geq 0, z \geq 0\right\}$.</p>
<ol>
<li>Berechne das Integral $\int_{F} \operatorname{rot} v \cdot d o$</li>
<li>Bestätigen dein Ergebnis aus 1. mit Hilfe des Satzes von Stokes.</li>
</ol>

<p>Gegeben ist eine Halbkugelschale mit nach außen gerichteter Nomale: $S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \quad z \geq 0$</p>
<p>und ein Vektorfeld: $\vec{F}=\left(x y^{2}, y^{2}-x, z^{3}\right)^{T}$</p>
<p><strong>Berechne:</strong></p>
<ol>
<li>$$\iint_{S} \operatorname{div} \vec{F} \cdot \mathrm{d} S$$ </li>
<li>$$\iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{S}$$</li>
</ol>
<p>Hinweis: Nutze für 2. den Satz von Stokes.</p>

Satz von Stokes

Eindimensionale Analysis

Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

Magnetische Spannung

Ladung im elektrischen Feld

Das Coulomb'sche Gesetz

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Platzhalter

4. jkl

Potential & Ladung am Kondensator

TM 2 Sammlung

placeholder 3

Regel von Sarrus (3x3)

Winkel, Länge, Fläche, Volumen von Vektoren

Kräfte an Grenzflächen

Technische Mechanik

Gauß-Jordan-Algorithmus

Statik

Energie des magnetischen Feldes

placeholder 2

Energie

placeholder 1

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

User

Das elektrische Strömungsfeld

Normalspannungen

Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenraum

Elastizitätsgesetz

Feldgrößen

Lineare DGL

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Verzerrungen

Widerstand im Strömungsfeld

TUHH-TM2

Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise

TUHH-TM3

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis $\{a_1, \ldots a_n\}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis zu konstruieren. 

Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren

Das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren kannst du verwenden, um aus einer beliebigen Basis <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\{a_1, \ldots a_n\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.677ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4719.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-44-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path><path id="MJX-44-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 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153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-44-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-44-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" 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Ebener Spannungszustand

Transformator

Dünnwandige Druckbehälter

Harmonische Schwingung

Zugstab

Physik für Maschinenbau

Torsion

Drosselspule

Darstellung von Sinusgrößen

Basis

Gleichspannung 

Der eisenfreie Transformator

Ohmsch-induktiver Gleichstromkreis

Trennung der Variablen (Separation)

Nichtsinusförmige periodische Vorgänge

Schaltvorgänge in RL- und RC-Schaltungen

Untervektorraum prüfen

Leistung bei symmetrischer Belastung (Drehstrom)

Fourier-Analyse

Triviale DGL

Nichtsinusförmige Vorgänge in linearen Schaltungen

Statische und kinematische Bestimmtheit (Fachwerke)

Gauß'sches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Dreieckschaltung

Lineare Quellen

Sternschaltung

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Drehstromverbraucher

Reale Quellen

Gerade ebene Balken

Gaußverfahren

Parallelschwingkreis

Nichtleiter im elektrischen Feld

Reihenschwingkreis

Flächenträgheitsmomente

Haftung (Haftreibung)

Biegelinie

Grundlagen

Querkraftschub

Kraft- und Drehmomente

Hier lernst du wie man Umkehrfunktionen berechnet.

Umkehrfunktion bilden

Funktionen (mehrdimensionale)

Stabsysteme

Stetigkeit (mehrdimensional)

Balkensysteme

Resultierende und Zerlegung von Kräften

Querkraftschub in offenen Profilen

Hochpass

Torsion in geschlossenen Profilen

Reale Spule

Torsion offener Profile

Allgemeine Netzwerkberechnung

Maximum)

Resultierende Kräfte und Momente ermitteln

Zusammengesetzte Beanspruchung

Kreis mit Spule

Schwerpunkte paralleler angreifender Kräfte

Eulersche Knickfälle

Grundbegriffe, Grundgrößen

Hoch- und Tiefpunkte sind bei der Betrachtung von Funktionen wichtige Bestandteile und finden auch bei reellen Problemen eine Anwendung. Wenn z. B. die Temperaturkurve eines Jahres aufgezeichnet wird, so kann mit Hilfe von Hoch- und Tiefpunkt der jeweils heißesten bzw. kältesten Tag ermittelt werden.

Lokale und global Extrema

Bewegter Leiter im Magnetfeld

Regel von L`Hospital

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Satz von Stokes

Satz von Stokes | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie

Satz von Stokes

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