Nutze den Satz von Stokes zum lösen des Oberflächenintegrals:  $\iint_{F} \operatorname{rot} \vec{f}(x, y, z) \cdot \vec{n} \ d F$ mit $\vec{f}(x, y, z):=\left(3 y,-x z, y z^{2}\right)$ und dem nach oben geöffneten Paraboloid $F:$ \begin{align*}F:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 z=x^{2}+y^{2}, \text { beschränkt durch } Z=2\right\}\end{align*} Hinweis: Der Normalenvektor $\vec{n}$ sei nach außen gerichtet.

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Es ist ein Kraftfeld im Raum $\mathbb{R}^{3}$ gegeben, mit $F(x, y, z)=\frac{1}{3}\left(x^{2}-2 y z, x z-y z, x y+y^{2}\right)^{\top}$. Zusätzlich liegt noch ein Dreieck $S$ im ersten Oktanten vor, welches durch die Eckpunkte $P_{1}:(1,0,0); \ P_{2}:(0,2,0); \ P_{3}:(0,0,2)$ definiert ist.
 
Berechne:
<ol>
<li class="horizontalLayoutText">die Rotation von $F$</li>
<li class="horizontalLayoutText">die von $F$ geleistete Arbeit $W=\int_{\partial S} F \cdot d s$ längs der orientierten Randkurve $\partial S$ des vorliegenden Dreiecks. Nutze dabei den Satz von Stokes.</li>
</ol>
</div>
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<img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5f19c86a0709bd0064515acd.png" alt="Dreieck mit angetragenem Koordinatensystem und Orientierung" width="100%" />
</div>
</div>
Hinweis: Nutze für $S$ die Parameterdarstellung $\Phi(u, v)=(u, v, 2-2 u-v)^{T}$

Gegeben ist ein Vektorfeld $v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $v(x, y, z)=(x y, y z, x z)^{\top}$ und eine Fläche $F=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \geq 0, z \geq 0\right\}$.
<ol>
<li>Berechne das Integral $\int_{F} \operatorname{rot} v \cdot d o$</li>
<li>Bestätigen dein Ergebnis aus 1. mit Hilfe des Satzes von Stokes.</li>
</ol>

Gegeben ist eine Halbkugelschale mit nach außen gerichteter Nomale: $S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \quad z \geq 0$
und ein Vektorfeld: $\vec{F}=\left(x y^{2}, y^{2}-x, z^{3}\right)^{T}$
Berechne:
<ol>
<li>$$\iint_{S} \operatorname{div} \vec{F} \cdot \mathrm{d} S$$ </li>
<li>$$\iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{S}$$</li>
</ol>
Hinweis: Nutze für 2. den Satz von Stokes.

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Satz von Stokes | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie