Nutze den Satz von Stokes zum lösen des Oberflächenintegrals:  $\iint_{F} \operatorname{rot} \vec{f}(x, y, z) \cdot \vec{n} \ d F$ mit $\vec{f}(x, y, z):=\left(3 y,-x z, y z^{2}\right)$ und dem nach oben geöffneten Paraboloid $F:$ \begin{align*}F:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 z=x^{2}+y^{2}, \text { beschränkt durch } Z=2\right\}\end{align*} Hinweis: Der Normalenvektor $\vec{n}$ sei nach außen gerichtet.

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Es ist ein Kraftfeld im Raum $\mathbb{R}^{3}$ gegeben, mit $F(x, y, z)=\frac{1}{3}\left(x^{2}-2 y z, x z-y z, x y+y^{2}\right)^{\top}$. Zusätzlich liegt noch ein Dreieck $S$ im ersten Oktanten vor, welches durch die Eckpunkte $P_{1}:(1,0,0); \ P_{2}:(0,2,0); \ P_{3}:(0,0,2)$ definiert ist.
 
Berechne:
<ol>
<li class="horizontalLayoutText">die Rotation von $F$</li>
<li class="horizontalLayoutText">die von $F$ geleistete Arbeit $W=\int_{\partial S} F \cdot d s$ längs der orientierten Randkurve $\partial S$ des vorliegenden Dreiecks. Nutze dabei den Satz von Stokes.</li>
</ol>
</div>
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<img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5f19c86a0709bd0064515acd.png" alt="Dreieck mit angetragenem Koordinatensystem und Orientierung" width="100%" />
</div>
</div>
Hinweis: Nutze für $S$ die Parameterdarstellung $\Phi(u, v)=(u, v, 2-2 u-v)^{T}$

Gegeben ist ein Vektorfeld $v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $v(x, y, z)=(x y, y z, x z)^{\top}$ und eine Fläche $F=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \geq 0, z \geq 0\right\}$.
<ol>
<li>Berechne das Integral $\int_{F} \operatorname{rot} v \cdot d o$</li>
<li>Bestätigen dein Ergebnis aus 1. mit Hilfe des Satzes von Stokes.</li>
</ol>

Gegeben ist eine Halbkugelschale mit nach außen gerichteter Nomale: $S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \quad z \geq 0$
und ein Vektorfeld: $\vec{F}=\left(x y^{2}, y^{2}-x, z^{3}\right)^{T}$
Berechne:
<ol>
<li>$$\iint_{S} \operatorname{div} \vec{F} \cdot \mathrm{d} S$$ </li>
<li>$$\iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{S}$$</li>
</ol>
Hinweis: Nutze für 2. den Satz von Stokes.

Satz von Stokes

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Cholesky-Zerlegung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

QR-Zerlegung

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Zweigstromanalyse

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Tilgungsrechnung

Rentenrechnung

Abschreibungsrechnung

Anwendungen in der elementaren Finanzmathematik

Zins- und Barwertrechnung

Erlös-, Gewinn- und Kostenfunktion

Konsumenten- und Produzentenrente

Ökonomische Anwendung

Integralrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Differentialrechnung

Produktionsfunktion

Kostenfunktion

Umsatz-, Gewinn-, Ausgabenfunktion

Preis-Absatz-Funktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Prozentrechnung

Umrechnung von Einheiten

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Grundlagen

Trägheitsmomente

Flächenzentrifugalmoment

Flächenträgheitsmoment

Wiederstandsdeminsionierung 

Spannungteiler

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Abbildungen

Das bestimmte Integral und seine Eigenschaften

Anwendung der Differentialrechnung

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Satz von Stokes

Satz von Stokes | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie