Ziegler-Nichols

Betrachtet wird der folgende Regelkreis

Die Ortskurve des Frequenzgangs von wurde bereits bestimmt:

a) Begründen Sie, warum der geschlossene Regelkreis mit einem -Regler für kleine stabil ist.

Nun soll ein ausgelegt werden.

b) Bestimmen Sie die Reglerparameter und mit Hilfe der Einstellregeln nach Ziegler und Nichols.

sei eine beliebige, asymptotisch stabile Regelstrecke, für welche ein PI-Regler mit der Ziegler/Nichols-Methode entworfen wurde.Bestimmen Sie den Punkt der resultierenden Kreisverstärkung.

Bemerkung: ist die Frequenz, für die gilt: .

Für eine Strecke soll ein Regler ausgelegt werden. Dazu wurden die Ortskurve der Strecke sowie drei Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises mit einem -Regler gemessen:

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar.

a) Zunächst soll ein -Regler ausgelegt werden. Bestimmen Sie die ReglerParameter und mit Hilfe der Einstellregeln nach Ziegler und Nichols.

Zum Vergleich soll ein -Regler so ausgelegt werden, dass der geschlossene Regelkreis die folgenden Spezifikationen erfüllt:

Durchtrittsfrequenz

Phasenreserve

b) Berechnen Sie die Regler-Parameter und , mit denen die genannten Spezifikationen erfüllt sind.

Gegeben ist das folgende System in Blockschaltbild-Form

mit den allgemeinen Übertragungsfunktionen sowie . Für die Übertragungsfunktionen gilt:

a) Fassen Sie das in dem roten Kasten dargestellte Übertragungssystem zu einer doppelbruchfreien Übertragungsfunktion zusammen.
b) Prüfen Sie mit ob die Übertragungsfunktion stabil ist.

Das System wird nun mit einem Regler geregelt. Zusätzlich ist zur Betrachtung des Sensorverhaltens die Übertragungsfunktion in der Rückführung enthalten.

c) Stellen Sie die Gesamtübertragungsfunktion in doppelbruchfreier Form in Abhängigkeit von auf.

d) Ist das System mit einem P-Regler für ein stabilisierbar? Falls ja, bestimmen sie mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums den Bereich für in Abhängigkeit von , für den der geschlossene Regelkreis asymptotisch stabil ist.
e) Das System wird nun mit einem geregelt und mit einem Einheitssprung beaufschlagt. Es stellt sich ein stationärer Endwert von ein. Bestimmen Sie .
f) Der Regler soll nun mit dem Verfahren nach Ziegler-Nichols ausgelegt werden. Hierbei sollen sowohl ein P-, PI- als auch ein PID-Regler betrachtet werden. Bei einem Schwingversuch wurde an der oberen Stabilitätsgrenze eine Periodendauer von gemessen.

Von einer Strecke ohne Regler haben Sie das Bode-Diagramm in der Abbildung gegeben.

a) Finden Sie die kritische Frequenz , die kritische Verstärkung und . Berechnen Sie mit den Einstellregeln von Ziegler/Nichols die Parameter für den PI-Regler.

Nachdem Sie die Parameter des Reglers bestimmt haben, sagt Ihr Kollege, dass das gegebene Bode-Diagramm falsch war. Er hat die Strecke nun richtig modelliert und gibt Ihnen die Übertragungsfunktion an:

Er möchte nun, dass Sie einen PID-Regler auslegen.

b) Berechnen Sie die Ziegler/NicholsParameter des PID-Reglers analytisch für die neue Strecke.

Gegeben sind die Differentialgleichungen eines nichtlinearen Systems

mit

Das System lässt sich in einen linearen dynamischen Teil und in einen nichtlinearen statischen Teil aufspalten:

a) Bestimmen Sie und . Geben Sie dabei in der Form

an.

Das System wird wie folgt mit einem -Regler zu einem stabilen Regelkreis erweitert:

b) Bestimmen Sie so, dass gilt: .
c) Bestimmen Sie für das aus b) für den stationären Endwert der Übergangsfunktion von