Schrödinger-Gleichung

Kann man den Aufenthaltsort eines quantenmechanischen Teilchens zu einem beliebigen Zeitpunkt vorherbestimmen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Welche physikalische Bedeutung besitzt die Normierung der Schrödingergleichung?

1. Betrachten Sie ein Elektron mit dem Impuls in -Richtung. Wie lautet die zugehörige Wellenfunktion ?
2. Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit der Elektronenwelle aus (a), indem Sie eine Stelle fester Phase im Laufe der Zeit durch den Raum verfolgen. Wie verhält sich die Phasengeschwindigkeit der Welle zur Geschwindigkeit des Elektrons?

Betrachten Sie die quantenmechanische Wellenfunktion

1. Bestimmen Sie den Normierungsfaktor mit der BedingungWelche Einheit hat die Wellenfunktion und warum ist die Normierung wichtig für die Interpretation in der Quantenmechanik?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen am Ort zu finden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen in einem Intervall zu finden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen in einem Intervall zu finden?

Gegeben sei ein eindimensionales Potential der Form

in dem sich ein kräftefreies Teilchen befinde.

1. Bestimmen Sie die Wellenfunktion .
2. Berechnen Sie die Energieeigenwerte .
3. Berechnen Sie den Erwartungswert des Ortes und des Impulsoperators .
4. Berechnen Sie die Energieunschärfe und interpretieren Sie das Ergebnis.

Hinweis: Für die Energieunschärfe gilt:

Betrachten Sie die abgebildete stückweise konstante Potentiallandschaft in der Abbildung. Ein von rechts einlaufendes Teilchen habe die Masse und die Energie mit

1. Geben Sie die Ansätze für die Wellenfunktionen für die verschiedenen Regionen I-IV an und verwenden Sie dabei und . Die Schrödingergleichung muss nicht gelöst werden.
2. Stellen Sie die Anschlussbedingung für auf.
3. Unter der Annahme, dass in Bereich III gebundene Zustände existieren, stellen Sie wie in Aufgabe a) die Lösungen für die vier Regionen auf.

Woraus folgt das Pauli-Verbot?

Geben Sie die Zeitentwicklung eines stationären Zustandes an.

Der Hamiltonoperator eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch

1. Gegeben sei nun die Wellenfunktion

   Berechnen Sie hiermit den Erwartungswert des Hamiltonoperators. Verwenden Sie

   
   Betrachten Sie nun ein Teilchen, auf das die Kraft mit wirkt.

2. Stellen Sie die dazugehörige Schrödingergleichung auf. Zeigen Sie, dass es sich um einen harmonischen Oszillator handelt.

3. Geben Sie die Energieeigenwerte des Teilchens an.

Gegeben sei ein kugelförmiger Potentialtopf mit für und für

1. Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion
   eine Lösung der Schrödingergleichung dieses Systems ist. Bestimmen Sie die Werte für und in diesem System.
2. Wie groß ist der Drehimpuls des Teilchens?

Zeigen Sie, dass die Grundzustands-Waserstoff-Wellenfunktion

eine Lösung der Schrödinger-Gleichung

mit

ist und bestimmen Sie den Ausdruck für .