Gegeben sei folgende MIMO-Übertragungsmatrix:
\[ P(s)=\left(\begin{array}{cc} \frac{3 s+1}{s+2} &amp; \frac{s}{s+1} \\ \frac{2}{s+1} &amp; \frac{-1}{s+1} \end{array}\right) \]
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie die Pole des MIMO-Systems und deren Vielfachheit.</li>
<li>Bestimmen Sie die Nullstellen des MIMO-Systems und deren Vielfachheit.</li>
<li>Was ist die minimale Systemordnung dieses Systems?</li>
<li>Wie viele Singularwerte hat das System bei jeder Frequenz?</li>
<li>Berechnen Sie den Verstärkungsbereich (minimale und maximale Verstärkung) der Frequenzantwort \( \|y\| /\|u\| \) bei der Frequenz \( \omega=1 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \). Machen sie diese Berechnung analytisch.</li>
</ol>

Gegeben sei folgende MIMO-Übertragungsmatrix:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
P(s)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{3 s+1}{s+2} & \frac{s}{s+1} \\
\frac{2}{s+1} & \frac{-1}{s+1}
\end{array}\right)
" style="vertical-align: -2.827ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.764ex" height="6.785ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1749.5 9619.7 2999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2207-TEX-I-1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path><path id="MJX-2207-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2207-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-2207-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 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<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie die Pole des MIMO-Systems und deren Vielfachheit.</li>
<li>Bestimmen Sie die Nullstellen des MIMO-Systems und deren Vielfachheit.</li>
<li>Was ist die minimale Systemordnung dieses Systems?</li>
<li>Wie viele Singularwerte hat das System bei jeder Frequenz?</li>
<li>Berechnen Sie den Verstärkungsbereich (minimale und maximale Verstärkung) der Frequenzantwort <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \|y\| /\|u\| " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.059ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3562 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2208-TEX-N-2225" d="M133 736Q138 750 153 750Q164 750 170 739Q172 735 172 250T170 -239Q164 -250 152 -250Q144 -250 138 -244L137 -243Q133 -241 133 -179T132 250Q132 731 133 736ZM329 739Q334 750 346 750Q353 750 361 744L362 743Q366 741 366 679T367 250T367 -178T362 -243L361 -244Q355 -250 347 -250Q335 -250 329 -239Q327 -235 327 250T329 739Z"></path><path id="MJX-2208-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 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data-c="2225" xlink:href="#MJX-2208-TEX-N-2225"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2490,0)"><use data-c="1D462" xlink:href="#MJX-2208-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3062,0)"><use data-c="2225" xlink:href="#MJX-2208-TEX-N-2225"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bei der Frequenz <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \omega=1 \mathrm{rad} / \mathrm{s} " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.854ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4797.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2209-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 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448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-2209-TEX-I-1D714"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(899.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2209-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1955.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2209-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2455.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="72" xlink:href="#MJX-2209-TEX-N-72"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-2209-TEX-N-61" transform="translate(392,0)"></use><use data-c="64" xlink:href="#MJX-2209-TEX-N-64" transform="translate(892,0)"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3903.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-2209-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4403.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="73" xlink:href="#MJX-2209-TEX-N-73"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>. Machen sie diese Berechnung analytisch.</li>
</ol>

Gegeben sei das MIMO System
\[ P(s)=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{s+3} &amp; \frac{1}{s+1} \\ \frac{1}{s+1} &amp; \frac{3}{s+1} \end{array}\right]  \]
Das System wird ab dem Zeitpunkt \( t=0 \) mit folgendem Eingangssignal angeregt:
\[ u(t)=\left[\begin{array}{c} \cos (t) \\ \mu \cdot \cos (t+\varphi) \end{array}\right]  \]
Lösen Sie folgende Teilaufgaben:
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Wie müssen die Parameter \( \varphi \) und \( \mu \) gewählt werden, damit für das Ausgangssignal \[\quad y(t)=\left[\begin{array}{l}y_{1}(t) \\ y_{2}(t)\end{array}\right]\] im eingeschwungenen Zustand gilt: \( y_{1}(t) \equiv 0 \).</li>
<li>Setzen Sie nun \( \mu=1 \). Wie muss der Parameter \( \varphi \) gewählt werden, damit die euklidische Norm \( \|y(t)\| \) minimiert wird.</li>
</ol>