Viele Summen können durch explizite Formeln ersetzt bzw. ausgerechnet werden. Mittels vollständiger Induktion nachzuweisen, dass eine solche Formel immer Gültigkeit hat ist Kern dieses Themas.

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle $n \geq 1$ gilt:</p>
<p>$$\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}$$</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \geq 1" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6457-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6457-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-6457-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6457-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6457-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6457-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2}" style="vertical-align: -2.864ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.522ex" height="6.399ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 7302.6 2828.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6458-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-6458-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(86, -1107.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(509.9, 1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1444, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1833, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2333, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3076.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4076.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4576.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5243.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(6299, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6458-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt:</p>
<p>$$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}\ =\ \frac{n}{3}\ (4n^{2}-1)$$</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n\in \mathbb{N}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2549-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2549-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2549-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2549-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2549-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2549-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{2}\ =\ \frac{n}{3}\ (4n^{2}-1)" style="vertical-align: -2.864ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="28.273ex" height="6.399ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 12496.6 2828.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2550-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-2550-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2550-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(86, -1107.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(509.9, 1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1444, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1833, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2333, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3076.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4076.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4576.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(5369, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5896.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(6952.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(7202.6, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(270, -686)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-33"></use></g><rect width="800" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(8242.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8492.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(8881.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(9381.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10607.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11607.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12107.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2550-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle $n \geq 1$ gilt:</p>
<p>$$\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\frac{n \cdot(n+1)}{2}\right)^{2}$$</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \geq 1" style="vertical-align: -0.312ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\frac{n \cdot(n+1)}{2}\right)^{2}" style="vertical-align: -2.864ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.148ex" height="6.615ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1658 10673.2 2923.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-2-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-2-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(86,-1107.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(509.9,1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1610.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(554,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2846,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3901.8,0)"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(736,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1711.4,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2533.7,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3533.9,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4033.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2181.4,-686)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-32"></use></g><rect width="4622.9" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5598.9,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(6367.9,1187.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle $n \geq 1$ gilt:</p>
<p>$$\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1)(2 n+1)}{6}$$</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \geq 1" style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.506ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2433.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6445-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6445-TEX-N-2265" d="M83 616Q83 624 89 630T99 636Q107 636 253 568T543 431T687 361Q694 356 694 346T687 331Q685 329 395 192L107 56H101Q83 58 83 76Q83 77 83 79Q82 86 98 95Q117 105 248 167Q326 204 378 228L626 346L360 472Q291 505 200 548Q112 589 98 597T83 616ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-6445-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6445-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6445-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1933.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-6445-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1)(2 n+1)}{6}" style="vertical-align: -2.864ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.901ex" height="6.399ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 12332.1 2828.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6446-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-6446-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(86, -1107.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(509.9, 1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1610.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(521, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2813, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3868.8, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1711.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2533.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3533.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4033.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4422.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4811.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5311.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6134.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7134.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7634.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3981.7, -686)"><use xlink:href="#MJX-6446-TEX-N-36"></use></g><rect width="8223.3" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt:</p>
<p>$$\sum_{k=1}^{n}k=\ \frac{n(n+1)}{2}$$</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n\in \mathbb{N}" style="vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-20-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-20-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-20-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sum_{k=1}^{n}k=\ \frac{n(n+1)}{2}" style="vertical-align: -2.864ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.773ex" height="6.399ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 7855.7 2828.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-21-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-21-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-21-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-21-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(86,-1107.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(509.9,1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1610.7,0)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2409.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(3465.2,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3715.2,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(989,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1811.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2811.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3311.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1820.2,-686)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g><rect width="3900.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle $n\in \mathrm{N}$ gilt:</p>
<p>$$\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^{k}} = 2 -\frac{n+2}{2^{n}}$$</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion:</p>
<p>Für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n\in \mathrm{N}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.82ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2572.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-962-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-962-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-962-TEX-N-4E" d="M42 46Q74 48 94 56T118 69T128 86V634H124Q114 637 52 637H25V683H232L235 680Q237 679 322 554T493 303L578 178V598Q572 608 568 613T544 627T492 637H475V683H483Q498 680 600 680Q706 680 715 683H724V637H707Q634 633 622 598L621 302V6L614 0H600Q585 0 582 3T481 150T282 443T171 605V345L172 86Q183 50 257 46H274V0H265Q250 3 150 3Q48 3 33 0H25V46H42Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-962-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-962-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-962-TEX-N-4E"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^{k}} = 2 -\frac{n+2}{2^{n}}" style="vertical-align: -2.864ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.881ex" height="6.399ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1562.5 8787.5 2828.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-963-TEX-LO-2211" d="M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 -353T1063 -332T1204 -283T1307 -196Q1328 -170 1348 -124H1388Q1388 -125 1381 -145T1356 -210T1325 -294L1267 -449L666 -450Q64 -450 61 -448Q55 -446 55 -439Q55 -437 57 -433L590 177Q590 178 557 222T452 366T322 544L56 909L55 924Q55 945 60 948Z"></path><path id="MJX-963-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-963-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-963-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-963-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-963-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-963-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-963-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munderover"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-LO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(86, -1107.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521, 0)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299, 0)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(509.9, 1150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1610.7, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(418.7, 676)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, -739.7)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(500, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><rect width="1118.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3246.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4302.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5024.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(6025.1, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1822.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(894.1, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(500, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-963-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><rect width="2522.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>