In diesem Kapitel lernst du die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Darüber hinaus werden komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil getrennt und grafisch dargestellt.

<p>Berechne den Realteil $\operatorname{Re}(z)$ und Imaginärteil $\operatorname{Im}(z)$ zu der gegebenen komplexen Zahl:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>z= \frac{1+i}{-1-i}</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Berechne den Realteil <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Re}(z)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.482ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2423 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-775-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 332Q497 316 516 298T545 254T559 211T568 155T578 94Q588 46 602 31T640 16H645Q660 16 674 32T692 87Q692 98 696 101T712 105T728 103T732 90Q732 59 716 27T672 -16Q656 -22 630 -22Q481 -16 458 90Q456 101 456 163T449 246Q430 304 373 320L363 322L297 323H231V192L232 61Q238 51 249 49T301 46H334V0H323Q302 3 181 3Q59 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM491 499V509Q491 527 490 539T481 570T462 601T424 623T362 636Q360 636 340 636T304 637H283Q238 637 234 628Q231 624 231 492V360H289Q390 360 434 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z= \frac{1+i}{-1-i}
\end{align*}" style="vertical-align: -1.821ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.502ex" height="4.774ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1305 5084 2110" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-777-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-777-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-777-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-777-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-777-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-777-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -37)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1798.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(609, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-I-1D456"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1500.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2500.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-777-TEX-I-1D456"></use></g></g><rect width="3045.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
<p>\begin{align*}z= (2-7 i)+(12-13 i)\end{align*}</p>

<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}z= (2-7 i)+(12-13 i)\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.235ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 10711.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5779-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5779-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 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262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5779-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-5779-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1798.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-5779-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" 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<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
<p>\begin{align*}z=(5-23 i)-(2-3 i)\end{align*}</p>

<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}z=(5-23 i)-(2-3 i)\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.104ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 10211.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5783-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5783-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 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<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
<p>\begin{align*}z=(5-23 i) \cdot(2-3 i)\end{align*}</p>

<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}z=(5-23 i) \cdot(2-3 i)\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.973ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9711.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5787-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5787-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 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<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
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<p>Bestimme Real- und Imaginärteil von:</p>
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<p>Berechne den Realteil $\operatorname{Re}(z)$ und Imaginärteil $\operatorname{Im}(z)$ zu der gegebenen komplexen Zahl:</p><p>\begin{align*}</p><p>z= \frac{2+3i}{3-4i}</p><p>\end{align*}</p>

<p>Berechne den Realteil <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Re}(z)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.482ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2423 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-944-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 332Q497 316 516 298T545 254T559 211T568 155T578 94Q588 46 602 31T640 16H645Q660 16 674 32T692 87Q692 98 696 101T712 105T728 103T732 90Q732 59 716 27T672 -16Q656 -22 630 -22Q481 -16 458 90Q456 101 456 163T449 246Q430 304 373 320L363 322L297 323H231V192L232 61Q238 51 249 49T301 46H334V0H323Q302 3 181 3Q59 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM491 499V509Q491 527 490 539T481 570T462 601T424 623T362 636Q360 636 340 636T304 637H283Q238 637 234 628Q231 624 231 492V360H289Q390 360 434 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komplexen Zahl:</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}z= \frac{2+3i}{3-4i}\end{align*}" style="vertical-align: -1.821ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.873ex" height="4.774ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1305 4806 2110" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-946-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-946-TEX-N-3D" d="M56 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<p>Berechne den Realteil und Imaginärteil von: </p>
<p>$$z=\left(1-\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)(2+3 \mathrm{i})$$</p>

<p>Berechne den Realteil und Imaginärteil von: </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="z=\left(1-\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)(2+3 \mathrm{i})" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.469ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 9489.4 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5289-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path 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60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5289-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-5289-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8, 0)"><use 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<p>Vereinfache und zeichne die komplexe Zahl:</p>
<p>$$z= \frac{4-6i}{3+2i}$$</p>
<p> </p>
<p>Lies anschließend den Realteil $\operatorname{Re}(z)$, Imaginärteil $\operatorname{Im}(z)$, Betrag $|z|$ und das Argument $\varphi \in [-\pi, \pi )$ ab.</p>

<p>Vereinfache und zeichne die komplexe Zahl:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="z= \frac{4-6i}{3+2i}" style="vertical-align: -1.738ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.873ex" height="4.799ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1353 4806 2121" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1036-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-1036-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 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<p> </p>
<p>Lies anschließend den Realteil <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Re}(z)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.482ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2423 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1037-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 332Q497 316 516 298T545 254T559 211T568 155T578 94Q588 46 602 31T640 16H645Q660 16 674 32T692 87Q692 98 696 101T712 105T728 103T732 90Q732 59 716 27T672 -16Q656 -22 630 -22Q481 -16 458 90Q456 101 456 163T449 246Q430 304 373 320L363 322L297 323H231V192L232 61Q238 51 249 49T301 46H334V0H323Q302 3 181 3Q59 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM491 499V509Q491 527 490 539T481 570T462 601T424 623T362 636Q360 636 340 636T304 637H283Q238 637 234 628Q231 624 231 492V360H289Q390 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-11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-1038-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="49" xlink:href="#MJX-1038-TEX-N-49"></use><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-1038-TEX-N-6D" transform="translate(361,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1194,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1038-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1194,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1038-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1583,0)"><use data-c="1D467" 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71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1039-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1039-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(743,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1039-TEX-N-7C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und das Argument <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\varphi \in [-\pi, \pi )" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4906.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1040-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-1040-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1040-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-1040-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1040-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-1040-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1040-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-1040-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(931.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1040-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1876.6,0)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-1040-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2154.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1040-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2932.6,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-1040-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3502.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1040-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3947.2,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-1040-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4517.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1040-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ab.</p>

<p>Vereinfache und zeichne die komplexe Zahl:</p>
<p>$$z= \frac{(-1+i)^4}{(-1-i)^4}$$</p>
<p> </p>
<p>Lies anschließend den Realteil $\operatorname{Re}(z)$, Imaginärteil $\operatorname{Im}(z)$, Betrag $|z|$ und das Argument $\varphi \in [-\pi, \pi )$ ab.</p>

<p>Vereinfache und zeichne die komplexe Zahl:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="z= \frac{(-1+i)^4}{(-1-i)^4}" style="vertical-align: -2.212ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.25ex" height="5.723ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1551.7 6298.6 2529.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1268-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-1268-TEX-N-3D" d="M56 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<p> </p>
<p>Lies anschließend den Realteil <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{Re}(z)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.482ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2423 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1269-TEX-N-52" d="M130 622Q123 629 119 631T103 634T60 637H27V683H202H236H300Q376 683 417 677T500 648Q595 600 609 517Q610 512 610 501Q610 468 594 439T556 392T511 361T472 343L456 338Q459 335 467 332Q497 316 516 298T545 254T559 211T568 155T578 94Q588 46 602 31T640 16H645Q660 16 674 32T692 87Q692 98 696 101T712 105T728 103T732 90Q732 59 716 27T672 -16Q656 -22 630 -22Q481 -16 458 90Q456 101 456 163T449 246Q430 304 373 320L363 322L297 323H231V192L232 61Q238 51 249 49T301 46H334V0H323Q302 3 181 3Q59 3 38 0H27V46H60Q102 47 111 49T130 61V622ZM491 499V509Q491 527 490 539T481 570T462 601T424 623T362 636Q360 636 340 636T304 637H283Q238 637 234 628Q231 624 231 492V360H289Q390 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xlink:href="#MJX-1270-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2048,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1270-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, Betrag <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="|z|" style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.31ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 1021 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1271-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-1271-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1271-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-1271-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(743,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-1271-TEX-N-7C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und das Argument <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\varphi \in [-\pi, \pi )" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4906.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1272-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-1272-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1272-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-1272-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-1272-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-1272-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1272-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-1272-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(931.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1272-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1876.6,0)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-1272-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2154.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-1272-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2932.6,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-1272-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3502.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1272-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3947.2,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-1272-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4517.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1272-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ab.</p>

<p>Berechne den Realteil und Imaginärteil von: </p>
<p>$$z=\frac{(4+2 i)(3-i)}{i(1+i)}$$</p>

<p>Berechne den Realteil und Imaginärteil von: </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="z=\frac{(4+2 i)(3-i)}{i(1+i)}" style="vertical-align: -2.172ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.071ex" height="5.475ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1460 8429.4 2420" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5293-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-5293-TEX-N-3D" d="M56 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Grundrechenarten

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl

<div id=5f086ce05d5188a044b48300 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Real- und Imaginärteil bestimmen</h2>
<ol>
<li>Löse (falls vorhanden) alle komplexen Brüche auf, mit dem Ziel jeweils das "$i$" aus dem Nenner zu entfernen. Am einfachsten gelingt dies, indem du die Brüche mit dem Komplex konjugierten Nenner erweiterst.<br /><br /></li>
<li>Multiplizieren alles aus und vereinfache.<br /><br /></li>
<li>Sortiere alles nach Termen mit "$i$" (Imaginärteil) und Termen ohne "$i$"(Realteil).</li>
</ol>
<p><em>Sollte zusätzlich nach dem Betrag oder Argument der komplexen Zahl gefragt sein, so kannst du jetzt die entsprechenden Formeln anwenden.</em></p>
</div></div>


<div id=5f086ce05d5188a044b48300 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Real- und Imaginärteil bestimmen</h2>
<ol>
<li>Löse (falls vorhanden) alle komplexen Brüche auf, mit dem Ziel jeweils das "<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1410-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1410-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container>" aus dem Nenner zu entfernen. Am einfachsten gelingt dies, indem du die Brüche mit dem Komplex konjugierten Nenner erweiterst.<br /><br /></li>
<li>Multiplizieren alles aus und vereinfache.<br /><br /></li>
<li>Sortiere alles nach Termen mit "<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1411-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1411-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container>" (Imaginärteil) und Termen ohne "<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1412-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-1412-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container>"(Realteil).</li>
</ol>
<p><em>Sollte zusätzlich nach dem Betrag oder Argument der komplexen Zahl gefragt sein, so kannst du jetzt die entsprechenden Formeln anwenden.</em></p>
</div></div>
