Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Theorie:

Der Laplace'sche Entwicklungssatz

Determinanten von beliebig großen -Matrizen lassen sich durch den Laplace'schen Entwicklungssatz rekursiv berechnen. Die Idee dahinter ist es, eine Determinante auf mehrere kleinere Determinanten zurückzuführen.

Vorgehen

Laplae´scher Entwicklungssatz  (n x n-Determinante)

  1. Wähle eine beliebige Zeile oder Spalte aus, nach welcher du entwickeln willst. Aus deiner Wahl ergibt sich z.B. einer der folgenden Startpunkte (rot):



    Es bietet sich an, die Zeile/Spalte mit den meisten Nulleinträgen zu nutzen.

  2. Schreibe deinen Startpunkt (z.B. ) als Faktor auf. Multipliziere ihn anschließend mit der Determinante der Matrix die entsteht, wenn du die gesamte Zeile und Spalte (in welcher dein Startterm liegt) streichst. Abhängig von der Lage deines Terms musst du ggf. noch mit multiplizieren. Ob dies der Fall ist kannst du mit folgendem (Schachbrett-) Muster prüfen:



  3. Wiederhole den unter 2. erklärten Schritt für jeden Eintrag in der gewählten Zeile/Spalte und addiere die Ergebnisse. Arbeite von links nach rechts (Entwicklung nach Zeile) bzw. oben nach unten (Entwicklung nach Spalte).
    Beispiel: (Entwicklung nach der ersten Zeile):


Aufgaben:

Aufgabe 1

Berechne mit dem Entwicklungssatz die Determinante der folgenden Matrix:

Aufgabe 2

Berechne mit dem Entwicklungssatz die Determinante der folgenden Matrix:

Aufgabe 3

Berechne durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte die Determinanten der folgenden komplexwertigen Matrix:

Aufgabe 4

Berechne die Determinante der Matrix über den Entwicklungssatz. Bestimme außerdem den Wert für die Determinante der 2-fachen Inverse von :

Aufgabe 5

Berechne durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte die Determinanten der folgenden Matrix:

Aufgabe 6

Berechne die Determinante von:

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