Eigenwerte

Eigenwerte, Eigenräume und Eigenvektoren

<p>Um die <strong>Eigenwerte</strong>, <strong>Eigenvektoren</strong> oder <strong>Eigenräume </strong>einer Matrix $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ zu berechnen, gehe wie folgt vor:</p>


<p>Um die <strong>Eigenwerte</strong>, <strong>Eigenvektoren</strong> oder <strong>Eigenräume </strong>einer Matrix <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.575ex" height="1.71ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 4232.2 756" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-896-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-896-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-896-TEX-D-1D542" d="M22 666Q22 676 33 683H351L358 679Q368 665 358 655Q351 648 324 648Q288 645 280 637Q275 631 274 605T273 477L275 343L382 446Q473 530 492 553T512 599Q512 617 502 631T475 648Q455 651 455 666Q455 677 465 680T510 683H593H720Q732 676 732 666Q732 659 727 654T713 648Q670 648 589 581Q567 562 490 489T413 415Q413 413 554 245T711 61Q737 35 751 35Q758 35 763 29T768 15Q768 6 758 -1H624Q491 -1 486 3Q480 10 480 17Q480 25 487 30T506 35Q518 36 520 38T520 48L400 195L302 310L286 297L273 283V170Q275 65 277 57Q280 41 300 38Q302 37 324 35Q349 35 358 28Q367 17 358 3L351 -1H33Q22 4 22 16Q22 35 60 35Q101 38 106 52Q111 60 111 341T106 632Q100 645 60 648Q22 648 22 666ZM240 341V553Q240 635 246 648H138Q141 641 142 638T144 603T146 517T146 341Q146 131 145 89T139 37Q138 36 138 35H246Q240 47 240 129V341ZM595 632L615 648H535L542 637Q542 636 544 625T549 610V595L562 606Q565 608 577 618T595 632ZM524 226L386 388Q386 389 378 382T358 361Q330 338 330 333Q330 332 330 332L331 330L533 90Q558 55 558 41V35H684L671 50Q667 54 524 226Z"></path><path id="MJX-896-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-896-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-896-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-896-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1972.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D542" xlink:href="#MJX-896-TEX-D-1D542"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(811,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-896-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJX-896-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1378,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-896-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> zu berechnen, gehe wie folgt vor:</p>


<div id=5f046412a1c46d49601bc4a7 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Eigenwerten, Räume und Vektoren</h2>
<ol>
<li>Bestimme das charakteristische Polynom von $A$ über $\chi_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda E_n)$. Ziehe dazu jeweils ein $\lambda$ von den Einträgen der Hauptdiagonalen ab und berechne anschließend die Determinante.</li>
<li>Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms.<br />$\chi_{A}(\lambda)=0 \quad \Rightarrow \quad \lambda_1, \ldots, \lambda_n$</li>
<li>Bestimme jeweils den Eigenraum zu jedem gefundenen Eigenwert mit $\operatorname{Eig}_{A}(\lambda_i)=\operatorname{ker}(A-\lambda_i \cdot E_n)$<br /><em>Du solltest hier bei jeder Berechnung unendlich viele Lösungen erhalten, also immer eine Lösungsmenge mit mindestens einem Parameter.</em></li>
<li>Einen passenden Eigenvektor erhälst du nun, indem du jeweils einen Vektor aus dem zugehörigen Eigenraum auswählst. Der Nullvektor ist dabei allerdings nicht zulässig.</li>
</ol>
</div></div>


<p>Die Eigenwerte und Vektoren brauchst du z.B. um eine Matrix zu diagonalisieren.</p>

Eindimensionale Analysis

Vektorbündel

Produkt- und Quotientenräume

Elektrotechnik

Beweisaufgabe

Uneigentliches Supremum und Infimum 

Supremum und Infimum

Grundlagen

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

reelle Zahlen

Kompakt oder nicht?

Serlo 

Chien, Hrones, Reswick

Wahr/Falsch

Elektrische Feldgrößen 

(Lokal) Kompakte Räume

Lyapunov-Stabilität

Beobachtbarkeit

Mannigfaltigkeiten

Steuerbarkeit

Nyquist-Kriterium

Fundamentalgruppen

Kirchhoffschen Gesetze

Erzwungene Schwingungen

(Weg)zusammenhängende Räume

MIMO-System

Reibung (Gleitreibung)

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Folgen

Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen

Metrische Räume

Sensitivität

Konvergenz und Divergenz

Sprungfunktion

Quicksort

Wärmetransport – Temperaturstrahlung

Sortieralgorithmen

Ideales Gas

Algorithmen

Wärmeenergie 

Informatik

Elastostatik, Festigkeitslehre

Satz von Green

Grundarten der Belastung

Satz von Stokes

Zug und Druck

Satz von Gauß

Thermodynamik und Wärme (Kurzweil)

Grundlagen der Wellenausbreitung

Kinetik, Kinematik

Mehrfachintegrale berechnen

Kinetische Theorie

Gedämpfte Schwingungen

Schwingung

Häufungspunkte und Cauchy-Folgen

Rotation um eine feste Achse

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale

Laplace-Transformation

LR-Zerlegung

Kinematik des Punktes

Reihen

Eindimensionale Bewegung

Kriterien für Konvergenz von Reihen 

Zustandsänderungen 

(Matrix-) Normen berechnen

Wellen

Stetigkeit von Funktionen

Schwingungen

Ableitung

Quantenoptik

Kurzweil Schwingungen

Integrale

Wellenoptik

Kurzweil Wellen

 Radio- und Fotometrie

Bewegungsgleichung

Geometrische Optik (Kurzweil)

Geometrische Optik

Kernumwandlung

Linearität einer Abbildung prüfen

Molekülspektren

Implizite Funktionen

Röntgenstrahlung

Optische Instrumente

Grundlagen der ebenen Kinematik

Energieerhaltung für geschlossene Systeme

Systematik des Atombaus

Bilanzen offener Systeme

Bahn- und Spinmagnetismus

Strahlung und Lichtempfindung

Quantentheorie

Wellenoptik (Kurzweil)

Ohmsches Gesetz

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Eigenwerte

Eigenwerte | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie