Funktionen (mehrdimensionale)

Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen.

Definition

Partielle Ableitung

Eine Partielle Ableitung, ist die Ableitung nach einer Varibalen von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen. Sie gibt die Änderung in Richtung der entsprechenden Koordinaten-Achse an.

Vorgehen

Partiell ableiten

Leite deine Funktion mit mehreren Variablen jeweils nach einer Variablen ab (differenzieren) und behandel dabei die andereren Variablen wie Konstanten.
Das Ableiten an sich funktioniert dann wie gewohnt mit allen Ableitungsregeln.

Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung.
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Hinweis

Nach dem Satz von Schwarz gilt, dass du die Reihenfolge der Ableitungen hier vertauschen darfst. Es gilt also

Anwendungen der partiellen Ableitung:

Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
Gradientenberechnung
Talorreihen
Ableitungen von impliziten Funktionen

Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :

Implizite Funktionen

Banachscher Fixpunktsatz

Satz über Umkehrabbildungen (lokal)

Taylorpolynome (mehrdimensional)

Partielle Ableitung

Partiell ableiten