Gegeben ist: \begin{align*}\gamma(t)=r \cdot\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}\right) , \quad 0 \leq t&lt;2 \pi\end{align*} Bestimme des Flächeninhalt der durch die Kurve eingeschlossen ist, unter Verwendung der Grennschen Flächeninhaltsformel.

Gegeben ist: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\gamma(t)=r \cdot\left(\begin{array}{c}
\cos (t) \\
\sin (t)
\end{array}\right) , \quad 0 \leq t<2 \pi\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.083ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 14180.8 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12159-TEX-I-1D6FE" d="M31 249Q11 249 11 258Q11 275 26 304T66 365T129 418T206 441Q233 441 239 440Q287 429 318 386T371 255Q385 195 385 170Q385 166 386 166L398 193Q418 244 443 300T486 391T508 430Q510 431 524 431H537Q543 425 543 422Q543 418 522 378T463 251T391 71Q385 55 378 6T357 -100Q341 -165 330 -190T303 -216Q286 -216 286 -188Q286 -138 340 32L346 51L347 69Q348 79 348 100Q348 257 291 317Q251 355 196 355Q148 355 108 329T51 260Q49 251 47 251Q45 249 31 249Z"></path><path id="MJX-12159-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 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Gegeben ist ein Gebiet, welches durch die folgende Archimedische Spirale beschrieben wird: \begin{align*}(x, y)=(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)), \quad r=c \varphi, \quad \varphi \in[0,2 \pi], \quad c&gt;0\end{align*} Berechne den Flächeninhalt mit dem Satz von Green. Fertige zunächst eine Skizze an.

Gegeben ist ein Gebiet, welches durch die folgende Archimedische Spirale beschrieben wird: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}(x, y)=(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)), \quad r=c \varphi, \quad \varphi \in[0,2 \pi], \quad c>0\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="57.524ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 25425.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12150-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12150-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 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Fertige zunächst eine Skizze an.

Im ersten Quadranten ist ein Bereich $G \subset \mathbb{R}^{2}$ gegeben, der von $y=x, y=\frac{x}{4}$ und $y=\frac{1}{x}$ berandet wird.
 
Berechne die Fläche von $G$ mit dem Satz von Green. Zeiche vorab eine Skizze.

Im ersten Quadranten ist ein Bereich <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G \subset \mathbb{R}^{2}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.342ex" height="2.084ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -881 3245.1 921" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12243-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 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data-mml-node="mo" transform="translate(3608, 0)"><use xlink:href="#MJX-12244-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4663.8, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 394) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-12244-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(245.5, -345) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-12244-TEX-N-34"></use></g><rect width="604.5" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y=\frac{1}{x}" style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.036ex" height="2.755ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 2668 1217.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12245-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 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Berechne die Fläche von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="G" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.778ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 786 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12246-TEX-I-1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12246-TEX-I-1D43A"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit dem Satz von Green. Zeiche vorab eine Skizze.