Gegeben sei das folgende lineare zeitinvariante System,\[ \begin{array}{l} \dot{x}(t)=A \cdot x(t)+b \cdot u(t) \\ y(t)=c \cdot x(t) \end{array} \quad \text { mit } \quad A=\left[\begin{array}{ccc} -6 &amp; 0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 2 &amp; 0 \\ 0 &amp; 7 &amp; -3 \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 5 \end{array}\right], \quad c=\left[\begin{array}{lll} 1 &amp; 1 &amp; 0 \end{array}\right] \]<ol style="list-style-type: lower-alpha;"><li>Beurteilen Sie die Lyapunov-Stabilität des Gleichgewichtspunktes des Systems.</li><li>Untersuchen Sie die Steuerbarkeit des Systems.</li><li>Untersuchen Sie die Beobachtbarkeit des Systems.</li></ol>

Gegeben ist das Zustandssystem \( \dot{x}=A x+B u \) mit
\[ A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha &amp; -1 &amp; 1 \\ 1 &amp; -2 &amp; 1 \\ 0 &amp; 1 &amp; -1\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2\end{array}\right) \]
für \( \alpha \in \mathbb{R} \).
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{R} \), so dass \( (A, B) \) steuerbar ist.</li>
<li>Bestimmen Sie für die nicht steuerbaren Fälle aus a) eine invertierbare Transformation \( T \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) so, dass</li>
</ol>
\[ T^{-1} A T=\left(\begin{array}{cc} \tilde{A}_{11} &amp; \tilde{A}_{12} \\ 0 &amp; \tilde{A}_{22} \end{array}\right), \quad T^{-1} B=\left(\begin{array}{c} \tilde{B}_{1} \\ 0 \end{array}\right) \]
mit \(  \tilde{A}_{11} \in \mathbb{R}^{r \times r}, 1 &lt; r &lt; 3 \) gilt.

Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System der Form
\[ \begin{array}{ll}\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}3 &amp; 0 \\ -5 &amp; 10\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}6 \\ 0\end{array}\right] u, &amp; t &gt; 0, x_{0}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right] \\\\ y=\left[\begin{array}{ll}1 &amp; 2\end{array}\right] \boldsymbol{x}, \quad  t \geq 0 .\end{array} \]
Untersuchen Sie das System auf Stabilität und vollständige Steuerbarkeit. Entwerfen Sie für das System eine Zustandsrückführung \( k^{T} \) so, dass die Pole des geschlossenen Kreises bei \( \lambda_{1}^{*}=-5 \) und \( \lambda_{2}^{*}=-6 \) liegen, ohne dabei die Formel von Ackermann zu verwenden.

Steuerbarkeit

Körperaxiomen

intr

leerlaufspannung

Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

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Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

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Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

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Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

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lineare abbildung 

quadratische ergänzung

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Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

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Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

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Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

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2x2 Matrix

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Steuerbarkeit | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie