Gegeben sei das folgende lineare zeitinvariante System,\[ \begin{array}{l} \dot{x}(t)=A \cdot x(t)+b \cdot u(t) \\ y(t)=c \cdot x(t) \end{array} \quad \text { mit } \quad A=\left[\begin{array}{ccc} -6 &amp; 0 &amp; 0 \\ 1 &amp; 2 &amp; 0 \\ 0 &amp; 7 &amp; -3 \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 5 \end{array}\right], \quad c=\left[\begin{array}{lll} 1 &amp; 1 &amp; 0 \end{array}\right] \]<ol style="list-style-type: lower-alpha;"><li>Beurteilen Sie die Lyapunov-Stabilität des Gleichgewichtspunktes des Systems.</li><li>Untersuchen Sie die Steuerbarkeit des Systems.</li><li>Untersuchen Sie die Beobachtbarkeit des Systems.</li></ol>

Gegeben ist das Zustandssystem \( \dot{x}=A x+B u \) mit
\[ A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha &amp; -1 &amp; 1 \\ 1 &amp; -2 &amp; 1 \\ 0 &amp; 1 &amp; -1\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}1 &amp; 0 \\ 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2\end{array}\right) \]
für \( \alpha \in \mathbb{R} \).
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{R} \), so dass \( (A, B) \) steuerbar ist.</li>
<li>Bestimmen Sie für die nicht steuerbaren Fälle aus a) eine invertierbare Transformation \( T \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) so, dass</li>
</ol>
\[ T^{-1} A T=\left(\begin{array}{cc} \tilde{A}_{11} &amp; \tilde{A}_{12} \\ 0 &amp; \tilde{A}_{22} \end{array}\right), \quad T^{-1} B=\left(\begin{array}{c} \tilde{B}_{1} \\ 0 \end{array}\right) \]
mit \(  \tilde{A}_{11} \in \mathbb{R}^{r \times r}, 1 &lt; r &lt; 3 \) gilt.

Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System der Form
\[ \begin{array}{ll}\dot{x}=\left[\begin{array}{cc}3 &amp; 0 \\ -5 &amp; 10\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}6 \\ 0\end{array}\right] u, &amp; t &gt; 0, x_{0}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right] \\\\ y=\left[\begin{array}{ll}1 &amp; 2\end{array}\right] \boldsymbol{x}, \quad  t \geq 0 .\end{array} \]
Untersuchen Sie das System auf Stabilität und vollständige Steuerbarkeit. Entwerfen Sie für das System eine Zustandsrückführung \( k^{T} \) so, dass die Pole des geschlossenen Kreises bei \( \lambda_{1}^{*}=-5 \) und \( \lambda_{2}^{*}=-6 \) liegen, ohne dabei die Formel von Ackermann zu verwenden.

Steuerbarkeit

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Integrale 

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

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übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

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kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

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Unterschied In/Homogen

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Bild & Urbild

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Epsilon Delta Kriterium

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Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

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Teilchenphysik und Festkörperphysik

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KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

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Spannungsregelung

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Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

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Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

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Komplexe Nullstellen

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Grenzwerte und Stetigkeit 

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Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

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Zins- und Barwertrechnung

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Steuerbarkeit | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie