Beobachtbarkeit

Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen

wobei die Systemmatrix und die Ausgangsmatrix eines Zustandssystems darstellt.

1. Ist das Zustandssystem für beobachtbar?

2. Bestimmen Sie eine Matrix so, dass der Beobachter den dreifachen Eigenwert besitzt

Betrachtet wird ein Pendel mit der Masse und Länge , das so wie in der Abbildung dargestellt auf einen Wagen montiert ist. Die Beschleunigung des Wagens ist eine Stellgröße, der in der Abbildung angedeutete Winkel und stellt die Erdbeschleunigung dar. Die Masse des Stabs und die Reibung des Wagens wird vernachlässigt.

Die Dynamik des Pendels ist durch folgendes Differentialgleichungssystem gegeben

mit der Konstante .

1. Linearisieren Sie das Differentialgleichungssystem in der Ruhelage und erstellen daraus ein Zustandssystem der Form
   
   
   
   
   mit und Der Winkel stellt die Ausgangsgröße dar.
2. Zeige Sie, dass steuerbar ist und bestimmen eine Zustandsrückführung , sodass einen doppelten Eigenwert bei hat.
3. Zeige Sie, dass beobachtbar ist und bestimmen ein so, dass einen doppelten Eigenwert bei hat.

Gegeben ist ein lineares zeitinvariantes System in der Zustandsdarstellung

wobei und gilt.

1. Untersuchen Sie die Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems und des dazu dualen Systems .
2. Transformieren Sie beide Systeme auf Diagonalform.
3. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des primalen Systems und die des dualen Systems aus den Jordanschen Normalformen.
4. Interpretieren Sie die bezüglich der Steuerbarkeit/Beobachtbarkeit erhaltenen Ergebnisse anhand der Übertragungsfunktionen.

Für das lineare zeitinvariante System mit der Zustandsdarstellung

soll ein vollständiger Luenberger-Beobachter entworfen werden.
Gehen Sie hierzu wie folgt vor:

1. Weisen Sie die vollständige Beobachtbarkeit des Systems nach.
2. Transformieren Sie das System auf Beobachtungsnormalform. Nutzen Sie dafür die für die Ähnlichkeitstransformation gegebene Transformationsmatrix
   
3. Entwerfen Sie einen vollständigen Luenberger-Beobachter in transformierten Koordinaten. Die Fehlerdynamikmatrix soll die Eigenwerte und aufweisen.
4. Transformieren Sie den berechneten Beobachterkorrekturvektor zurück in die Originalkoordinaten.
5. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis für mit Hilfe der Formel von Ackermann.