Teilfolgen

by Mathe für Nicht-Freaks

(Analysis 1 )

Einführendes Beispiel

Manchmal ist es notwendig, nur über eine Unterfolge einer Folge zu sprechen. Solche Unterfolgen werden in der Mathematik Teilfolge genannt. Dieser Name ist ganz intuitiv: Teilfolgen bezeichnen einen Teil einer Folge. Eine Teilfolge entsteht dadurch, dass in einer gegebenen Folge beliebige Folgenglieder entfernt werden. Beim Streichen der Folgenglieder müssen aber unendlich viele Folgenglieder übrig bleiben. Die übrig geliebenen Folgenglieder bilden dann eine Teilfolge der ursprünglichen Folge. Nehmen wir zum Beispiel die Folge :

Wir interessieren uns nun für die Teilfolge jedes zweiten Folgenglieds. Diese entsteht, indem wir alle Folgenglieder mit ungeradem Index streichen:

So entsteht eine Teilfolge, die konstant 1 ist.

Mathematische Beschreibung

Wie können Teilfolgen notiert werden? Schauen wir uns zunächst die Indizes der Folgenglieder an, die in der Teilfolge enthalten sein sollen:

Jetzt suchen wir eine Folge , die diese Indizes beschreibt. Im obigen Beispiel betrachten wir alle geraden Indizes. Also ist :

Diese Folge setzen wir in ein. Dadurch entsteht die Teilfolge

Zunächst bilden wir also die Folge der relevanten Indizes einer Teilfolge. Diese Teilfolge setzen wir dann in die Originalfolge für ein, sodass wir die Teilfolge erhalten.

In unserem Beispiel ist . Wir setzen also für in ein. So erhalten wir die Teilfolge .

Definition

 
Definition

Teilfolge
Sei eine beliebige Folge. Jede Folge heißt Teilfolge von , wenn eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen ist.

Dieser Begriff ist wichtig für die Analysis, weil durch inn Häufungspunkte charakterisiert werden können. Was Häufungspunkte genau sind, werden wir im nächsten Kapitel näher untersuchen.

 
Hinweis

Jede Folge ist eine Teilfolge von sich selbst. Wenn man nämlich wählt, dann ist . Für ist also die Teilfolge mit der ursprünglichen Folge identisch. Das zeigt, dass jede Folge eine Teilfolge von sich selbst ist.

Konvergenz von Teilfolgen

Für Teilfolgen gibt es die folgenden wichtigen Sätze:

 
Definition

Konvergenz von Teilfolgen
Sei eine Folge. konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert. Der Grenzwert der Folge stimmt mit den Grenzwerten ihrer Teilfolgen überein.

 
Definition

Divergenz bei Divergenz einer Teilfolge
Wenn eine Teilfolge divergiert, muss auch die ursprüngliche Folge divergieren.

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