Rekursive Folgen

Theorie: Rekursive Folgen

Im Gegensatz zur explizit gegebenen Zahlenfolge gibt es auch noch die rekursive Darstellung einer Folge. Bei rekursiven Folgen hängen die einzelnen Folgeglieder von dem vorangegangenen Folgenglied ab. Ein Beispiel wäre die Folge

Damit man der Folge Werte zuordnen kann, muss also auf jeden Fall das erste Folgenglied angegeben sein. In unserem Beispiel könnte man das so angeben: 

Dann wäre

Rekursive Folge

 

In der rekursiven Darstellung einer Folge wird das -te Folgenglied in Abhängikeit von mithilfe einer Funktion dargestellt: 

Auch bei rekursiven Folgen ist es oft interessant, das Konvergenzverhalten zu untersuchen. Dabei gibt es vor allem zwei Möglichkeiten:

  1. Man versucht, eine explizite Bildungsvorschrift zu finden und untersucht diese auf ihr Konvergenzverhalten.
  2. Man versucht, das Monotoniekriterium anzuwenden.

Konvergenz rekursiver Folgen - explizite Form

 
  1. Berechne die ersten Folgenglieder rekursiv.
     
  2. Finde eine Zuordnungsvorschrift , indem du eine Funktion suchst, für die gilt: 


  3. Stelle eine Vermutung auf, wie aussehen könnte und beweise deine Vermutung mittels vollständiger Induktion. 

  4. Jetzt kannst du die explizite Form der Zahlenfolge mit den dir bereits bekannten Mitteln auf Konvergenz untersuchen. 

Konvergenz rekursiver Folgen - Monotoniekriterium

 

Nutze aus, dass jede monoton fallende/steigende und beschränkte Folge mit dem Grenzwert konvergiert!

  1. Berechne (falls in Aufgabenstellung verlangt) den Grenzwert der Folge, unter der Annahme das dieser existiert.
    Konkret: Nehme dir die rekursive Bildungsvorschrift und ersetze jedes und durch den Grenzwert . Löse die entstandene Gleichung nach auf, um den Grenzwert zu erhalten.
    Hinweis: Dies funktioniert, da im unendlichen gilt:

  2. Weise die Beschränktheit der Folge mittels vollständiger Induktion nach. Als obere bzw. untere Grenze solltest du den errechneten Grenzwert und den in der Aufgabenstellung gegebene Startwert nutzen.

  3. Zeige, dass die Folge monoton steigend/fallend ist. Prüfe:
     monoton fallend:
     oder monoton steigend:
     Nutze zum Nachweis eine äquivalente Umformung oder ggf. die vollständige Induktion.

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