In diesem Kapitel werden einfache Folge behandelt, also Folgen welche nicht Rekursiv oder alternierend sind.

<p>Berechne folgenden Grenzwert:</p>
<p>$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(2^{n}+(-2)^{n}\right)}{3^{n}}$$</p>

<p>Berechne folgenden Grenzwert:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(2^{n}+(-2)^{n}\right)}{3^{n}}" style="vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.136ex" height="4.905ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1460 8016.1 2168" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 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<p>Untersuche die Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert.</p>
<p>$$a_n = \frac{2 n^{3}-n^{2}-n+1}{3 n^{3}-1}$$</p>

<p>Untersuche die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(a_n)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-13-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-13-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-13-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1425.3,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-13-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert.</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_n = \frac{2 n^{3}-n^{2}-n+1}{3 n^{3}-1}" style="vertical-align: -1.813ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.964ex" height="5.229ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1509.9 10150.3 2311.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-14-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 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<p>Untersuche die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p>$$a_{n}=7 \cdot\left(3-\frac{7+6 n}{2 n}\right)$$</p>

<p>Untersuche die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-37-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-37-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-37-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-37-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-37-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-37-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-37-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-37-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-37-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-37-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-37-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-37-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-37-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=7 \cdot\left(3-\frac{7+6 n}{2 n}\right)" style="vertical-align: -2.148ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.736ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 10049.2 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-38-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-38-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 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<p>Untersuche die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p>$$a_{n}=\frac{2 n^{2}-n}{3 n^{2}+5 n}$$</p>

<p>Untersuche die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2717-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2717-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2717-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2717-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2717-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2717-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-2717-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2717-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2717-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1392.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2717-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1781.3, -285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2717-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-2717-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2717-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=\frac{2 n^{2}-n}{3 n^{2}+5 n}" style="vertical-align: -1.814ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.939ex" height="5.23ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1509.9 6602.8 2311.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2718-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2718-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 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<p>Untersuche die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p>$$a_{n}=(-1)^{n} \cdot 2^{-n}+\frac{n-1}{n}$$</p>

<p>Untersuche die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3231-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3231-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-3231-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3231-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3231-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-3231-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3231-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3231-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3231-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1392.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3231-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1781.3, -285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3231-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-3231-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3231-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=(-1)^{n} \cdot 2^{-n}+\frac{n-1}{n}" style="vertical-align: -1.577ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.11ex" height="4.613ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 11098.8 2039" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3232-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-3232-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 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93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3232-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1281, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2336.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2725.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3503.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4003.8, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5089.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5589.5, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(500, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7336.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(8336.4, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1822.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1081.2, -686)"><use xlink:href="#MJX-3232-TEX-I-1D45B"></use></g><rect width="2522.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme den Grenzwert der Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ :</p>
<p>$$a_{n}=\frac{\sqrt{2 n^{2}+1}}{n+1}$$</p>

<p>Bestimme den Grenzwert der Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.325ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3237.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1424-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1424-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1424-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1424-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1424-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1424-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-1424-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1424-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1424-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1392.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-1424-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1781.3, -285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1424-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600, 0)"><use xlink:href="#MJX-1424-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1424-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=\frac{\sqrt{2 n^{2}+1}}{n+1}" style="vertical-align: -1.738ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.511ex" height="5.454ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1642.5 6855.8 2410.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1425-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1425-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1425-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1425-TEX-N-221A" d="M95 178Q89 178 81 186T72 200T103 230T169 280T207 309Q209 311 212 311H213Q219 311 227 294T281 177Q300 134 312 108L397 -77Q398 -77 501 136T707 565T814 786Q820 800 834 800Q841 800 846 794T853 782V776L620 293L385 -193Q381 -200 366 -200Q357 -200 354 -197Q352 -195 256 15L160 225L144 214Q129 202 113 190T95 178Z"></path><path id="MJX-1425-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1425-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1425-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1281, 0)"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2336.8, 0)"><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(220, 676)"><g transform="translate(853, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1725.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2726, 0)"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0, 106.5)"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-221A"></use></g><rect width="3226" height="60" x="853" y="846.5"></rect></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(1098.3, -686)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(822.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1822.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-1425-TEX-N-31"></use></g></g><rect width="4279" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Untersuche die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p>$$a_{n}=\frac{5 n^{4}+2 n^{2}}{2 n^{3}+3}-\frac{10 n+1}{4}$$</p>

<p>Untersuche die Folge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}" style="vertical-align: -0.71ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.474ex" height="2.406ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3303.7 1063.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1425.3,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1847.3,-285.4) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(600,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1267,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> auf Konvergenz und berechne gegebenfalls ihren Grenzwert:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=\frac{5 n^{4}+2 n^{2}}{2 n^{3}+3}-\frac{10 n+1}{4}" style="vertical-align: -1.813ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.354ex" height="5.246ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1517.7 12090.3 2318.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 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<p>Bestimmen Sie folgenden Grenzwert, sofern dieser existiert.</p>
<p>\[\begin{align*}</p>
<p>\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}+3 n}-n</p>
<p>\end{align*}\]</p>

<p>Bestimmen Sie folgenden Grenzwert, sofern dieser existiert.</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\begin{align*}
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}+3 n}-n
\end{align*}" style="vertical-align: -1.495ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.567ex" height="4.122ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1161 8206.6 1822" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-40-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path 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<p>Berechnen Sie folgenden Grenzwert:</p>
<p>\[\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n+4}\]</p>

<p>Berechnen Sie folgenden Grenzwert:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n+4}" style="vertical-align: -2.148ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.309ex" height="5.893ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1655.3 7650.5 2604.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 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<p>Bestimmen Sie, falls möglich, den Grenzwert der Folge:</p>
<p>$$a_{n}=\frac{\sqrt{n^{6}+n^{4}}-n^{3}}{2 n^{2}-1}$$</p>

<p>Bestimmen Sie, falls möglich, den Grenzwert der Folge:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="a_{n}=\frac{\sqrt{n^{6}+n^{4}}-n^{3}}{2 n^{2}-1}" style="vertical-align: -1.814ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.854ex" height="5.539ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1646.4 9217.4 2448.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-5-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 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Einfache Folgen