In diesem Kapitel wird das Konzept des Grenzwerts (auch Limes genannt) bzw. der Konvergenz einer Folge eingeführt. Da Begriffe wie Stetigkeit, Ableitung und Integral mithilfe des Grenzwertbegriffes definiert werden, ist der Grenzwert sehr wichtig. Er bildet damit das Rückgrat der Analysis.
Intuition hinter der Idee der Konvergenz
Um eine mathematische Definition des Grenzwerts zu finden, sollten wir zunächst eine intuitive Idee für diesen Begriff bekommen. Schauen wir uns dafür die harmonische Folge an. Sie hat die Folgenglieder
Diese nähern sich von oben immer mehr der Null an und man kann intuitiv sagen:
- Die Folge geht beliebig nah an
- Je größer ist, desto mehr nähert sich der 0 an.
- Die Folge strebt gegen 0 .
- Die Folge erreicht im Unendlichen die
Alle diese Erklärungen beschreiben intuitiv, was wir in der Analysis den Grenzwert einer Folge nennen. In diesem Fall ist 0 der Grenzwert der harmonischen Folge .
Herleitung der Definition des Grenzwerts
Erste Schritte
Um als Mathematiker mit dem Begriff des Grenzwerts arbeiten zu können, brauchen wir eine klare und exakte Definition. Diese können wir finden, indem wir mit einer intuitiven Idee starten und diese so lange konkretisieren, bis wir eine exakte mathematische Definition haben. Die Konkretisierung erfolgt so lange, bis wir eine Formulierung finden, die nur noch bereits definierte Begriffe enthält. Fangen wir mit der folgenden intuitiven Beschreibung des Grenzwerts an:
Was bedeutet „beliebig nahe “ im obigen Satz? Wir können es so übersetzen: Stellen wir uns die Folgenglieder in einem Koordinatensystem vor, wobei auf der -Achse die Indizes und auf der -Achse die Werte der Folgenglieder stehen. Jedes Folgenglied wird durch einen Punkt in diesem Koordinatensystem dargestellt. Den Grenzwert veranschaulichen wir durch eine gestrichelte Linie.
Wenn die Folgenglieder nun, „beliebig nahe“ an herangehen, wird der Abstand zum Grenzwert immer kleiner. Nun nehmen wir einen sehr schmalen „Schlauch “ (man kann es sich wie einen Gartenschlauch vorstellen), der den Radius hat. Diesen „fädeln “ wir von rechts über den Grenzwert. Solange der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert kleiner als der Schlauch dick ist, kann man den Schlauch noch weiter nach links schieben. Alle Punkte befinden sich immer noch innerhalb des Schlauches. Sobald ein Punkt aber einen größeren Abstand zum Grenzwert hat, kann er nicht mehr innerhalb des Schlauches liegen. An dieser Stelle müssen wir aufhören, den Schlauch weiter aufzufädeln.
Der Punkt ist das Folgenglied, ab dem alle späteren Folgenglieder (also mit Index größer gleich ) innerhalb des Schlauches liegen. Direkt vor liegt ein Punkt, der außerhalb des Schlauchs liegt. Wenn wir den Schlauch jetzt dünner machen, können vielleicht nicht mehr alle Punkte innerhalb des Schlauches liegen, die vorher im großen Schlauch lagen. Deshalb kann man den dünnen Schlauch nicht mehr so weit nach links schieben, wenn noch alle Punkte innerhalb des Schlauches liegen sollen. Jedoch ist es auch bei ihm möglich, dass fast alle Folgenglieder „eingefangen “werden können:
Nun ist der Punkt, der nicht mehr in den dünneren Schlauch passt, weiter rechts als im vorherigen Bild. Das neue erste Folgenglied im Schlauch nennen wir . Alle Folgenglieder mit einem Index größer gleich liegen in dem dünneren Schlauch.
Dieser Schlauch hat keine nähere mathematische Bedeutung. Wir haben ihn nur verwendet, um zu zeigen, dass die Folgenglieder immer näher an der gestrichtelten Linie liegen. Sie gehen also immer näher an heran und insbesondere auch nicht mehr weiter weg, da sie ja ab einem bestimmten Index alle innerhalb des Schlauches liegen, egal wie dünn dieser ist. Haben wir das verstanden, brauchen wir den „Schlauch “ nicht mehr. Was bisher unser beliebig dünner Schlauch mit Radius war, werden wir -Umgebung nennen.
In jeder Umgebung um den Grenzwert liegen fast alle Folgenglieder
Wir haben Indizes wie bzw. gefunden, ab denen alle nachfolgenden Folgenglieder innerhalb der jeweiligen -Schläuche liegen. Machen wir den Schlauch noch dünner, finden wir entsprechend ein , ab dem alle Folgenglieder im Schlauch liegen und so weiter. Egal wie dünn wir den Schlauch machen, es wird immer einen Punkt geben, ab dem alle weiteren Folgenglieder im Schlauch liegen.
Da solche Startindizes wie natürliche Zahlen sind, kann es nur endlich viele Folgenglieder geben, die außerhalb des Schlauches liegen (nämlich höchstens Folgenglieder). Alle restlichen Folgenglieder liegen innerhalb des Schlauchs. Da eine Folge unendlich viele Folgenglieder hat, kann man die endlich vielen Glieder, die außerhalb liegen, vernachlässigen und sagen, dass fast alle Glieder innerhalb des Schlauches liegen. Das geht selbst, wenn das sehr groß ist. Denn in Relation zu unendlich vielen Folgegliedern, die innerhalb des Schlauchs liegen, sind endlich viele Folgeglieder außerhalb des Schlauchs wenig - egal wie groß ist. Das zu verstehen ist wichtig, um den Grenzwertbegriff zu verstehen.
Wir haben also herausgefunden, dass fast alle Folgenglieder in dem Schlauch liegen, egal wie dünn dieser ist. Das heißt, dass die Folgenglieder immer näher an den Grenzwert herangehen. Und das ist es, was den Grenzwert ausmacht. Die Folgenglieder liegen beliebig nah am Grenzwert , wenn wir hinreichend große betrachten.
Was bedeutet „fast alle"?
Dazu stellen wir uns ein Koordinatensystem vor, auf dem unendlich viele Folgenglieder einer konvergierenden Folge dargestellt sind. Nun nehmen wir einen -Schlauch und fädeln ihn von rechts über den Grenzwert ein. Dann passt eine endliche Anzahl an Folgengliedern nicht in den Schlauch, weil der Abstand zum Grenzwert nicht klein genug ist. Jedoch liegen unendlich viele Folgenglieder innerhalb des Intervalls und damit im -Schlauch.
Die Anzahl der Folgenglieder, die innerhalb des Intervalls liegen, ist also überwältigend groß im Vergleich zur Anzahl der Folgenglieder außerhalb dieses Intervalls. Man sagt daher, dass fast alle Folgenglieder im Intervall liegen.
Wenn „fast alle“ Folgenglieder im Intervall liegen, so bedeutet es, dass „alle bis auf endlich viele“ Folgenglieder ein Element dieses Intervalls sind.
Verfeinerung der mathematischen Definition
Insgesamt können wir definieren:
Obige Aussage könnten wir als mathematische Definition des Grenzwerts verwenden. Jedoch ist es sinnvoll, diese Definition noch weiter zu formalisieren.
Nun ist ein Folgenglied genau dann ein Element von , wenn ist. Also:
Den Teil „es gibt ein Folgenglied, ab dem gilt ...“ können wir umformulieren zu ,es gibt eine natürliche Zahl , so dass für alle mit gilt ...". Somit:
Dies ist dann auch die mathematische Definition des Grenzwerts.
Definition des Grenzwerts
Kommentiert lautet die prädikatenlogische Definition des Grenzwerts:
Es folgen einige Definitionen im Zusammenhang mit dem Grenzwert:
Wenn eine Folge gegen konvergiert, schreibt man oder „a_n für ". Man spricht hier „Limes von für gegen unendlich ist ".