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Folgen - Grenzwerte (Konvergenz)

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Definition von Folgen

Die Folge ist einer der wichtigsten Begriffe in der Analysis. Anhand von Folgen werden wir nämlich später den Begriff des Grenzwerts definieren. Damit wiederum können wir alle wichtigen Konzepte der Analysis wie die Ableitung und die Stetigkeit einführen.

Der Begriff der Folge im Alltag

Der Begriff der „Folge“ ist uns bereits aus dem alltäglichen Leben bekannt.

Es gibt eine genau definierte Anordnung der Folgenglieder, die beachtet werden muss. Nach dem Aufstehen sollte man zuerst Kaffee kochen, bevor man diesen trinkt (die umgekehrte Reihenfolge wäre suboptimal ).

Außerdem können in einer Folge ein oder mehrere Objekte mehrmals als Folgenglieder auftreten. In der Folge der Fußballweltmeister kommen einige Nationen mehr als einmal vor, weil sie die Fußballweltmeisterschaft mehr als einmal gewonnen haben. Dies unterscheidet eine Folge insbesondere von einer Menge. Für eine Menge kann nämlich nicht sinnvoll gefragt werden, wie oft ein Element in ihr vorkommt. Man kann nur fragen, ob ein Objekt Element einer Menge ist oder nicht.

Des Weiteren kannst du die einzelnen Folgenglieder einer Folge durchnummerieren. Du kannst sagen, wer der erste Präsident der USA, der zweite und so weiter war. Jedem Element einer Folge kann also eine oder mehrere Zahlen zugeordnet werden, die angeben, wo dieses Objekt in der Folge vorkommt.

Viele der im Alltag bekannten Folgen sind endlich, es sind aber auch unendliche Folgen vorstellbar. Würde man bis in alle Ewigkeit Fußballweltmeisterschaften austragen, wäre die Folge der Fußballweltmeister unendlich lang.

Formale Definition

Kommen wir nun zu dem Begriff der Folge in der Mathematik. Der große Unterschied zum Folgenbegriff im Alltag ist der, dass in der Mathematik eine Folge immer unendlich lang ist. In der Mathematik gibt es auch endliche Folgen, welche aber Tupel genannt werden. Diese sind endliche Abfolgen von Objekten und entsprechen den endlichen Folgen aus dem Alltag.

Eine Folge ist also eine unendliche Abfolge von Objekten. Dabei steht für das Objekt an der ersten Stelle, für das Objekt an der zweiten Stelle und so weiter. Für Folgen gibt es die abkürzende Schreibweise . Damit lautet die (intuitive) Definition einer Folge:

 
Definition

Eine Folge ist eine unendliche Abfolge von Objekten:

Diese Definition ist intuitiv, weil wir den Begriff, „unendliche Abfolge " nicht exakt definiert haben. Dies muss für eine exakte Definition nachgeholt werden.

Beispiele:

Die Folge der natürlichen Zahlen ist:

Die Folge der Zweierpotenzen ist:

Wichtige Begriffe

Die einzelnen Elemente einer Folge werden Folgenglieder genannt. Dabei werden die Folgenglieder mit einer natürlichen Zahl durchnummeriert. Diese natürliche Zahl nennt man Index. So ist beispielsweise das Folgenglied zum Index 4 .

Für eine Folge mit Elementen aus der Menge ist ein Folgenglied ein konkretes Element aus der Menge . Nehmen wir die Folge . Das Folgenglied ist das identische Objekt wie oder , nämlich die Zahl

Meint man die gesamte Folge, schreibt man Zwei Kurzschreibweisen für sind und . Häufig wird der Buchstabe als Indexvariable genutzt. Jeder Buchstabe kann aber als Indexvariable verwendet werden, solange er im jeweiligen Kontext keine andere Bedeutung hat. So sind auch die Schreibweisen oder möglich.

In der eindimensionalen Analysis betrachten wir vor allem Folgen mit reellen Zahlen als Folgenglieder. Diese speziellen Folgen nennt man reelle Folgen. In folgender Übersicht und in folgender Tabelle sind alle wesentlichen Begriffe zu den Bestandteilen von Folgen zusammengefasst:

Begriff Schreibweise Definition
Folge oder kurz Eine Folge ist eine unendliche Abfolge von Objekten.
Folgenglied Ein Folgenglied ist ein konkretes Objekt, das in der Folge an einer bestimmten Stelle vorkommt.
Index Der Index ist eine natürliche Zahl, die die Folgenglieder durchnummeriert.
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Zum Vergleich: Die Funktion mit dem Definitionsbereich der positiven reellen Zahlen. [Quelle]

Definition als Funktion

Definition

Oben haben wir die Folge intuitiv als unendliche Abfolge von Objekten definiert. Mit Hilfe des Funktionenbegriffs kann diese Definition konkretisiert und vor allem mathematisch exakt formuliert werden. Hierzu nehmen wir die Menge der natürlichen Zahlen und ordnen jeder natürlichen Zahl ein beliebiges Objekt zu (wobei diese Objekte aus einer Menge stammen, in der wir eine Folge bilden möchten). Damit erhalten wir eine unendliche und durchnummerierte Abfolge beliebiger Objekte, wie die folgende Skizze verdeutlicht:

Eine solche Zuordnung ist nichts anderes als eine Funktion , also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in eine Menge , die alle möglichen Folgenglieder enthält. So haben wir bei der Folge der deutschen Bundeskanzler die Zuordnung:

Die „unendliche Abfolge“ von Folgengliedern können wir somit als eine Funktion auffassen, die für jede natürliche Zahl angibt, was das -te Folgenglied sein soll:

 
Definition

Folge
Eine Folge in einer Menge ist eine Abbildung

Wir schreiben anstelle von .

Obige Definition nutzt nur bereits bekannte Konzepte und erfüllt damit die Anforderungen an eine mathematisch exakte Definition. Deswegen wird sie in den meisten Lehrbüchern als Definition einer Folge verwendet.

Explizite und rekursive Bildungsgesetze

Zur Definition einer Folge muss man eine Zuordnungsvorschrift angeben, die den einzelnen Indizes die Folgenglieder zuweist. Diese Zuordnungsvorschrift wird Bildungsgesetz der Folge (manchmal auch Bildungsvorschrift) genannt. Diese Zuordnungsvorschrift kann im Allgemeinen sehr kompliziert sein. Da eine Folge stets unendlich viele Glieder besitzt, kann man die Zuordnungsvorschrift nicht durch Aufzählung aller Folgenglieder definieren. Stattdessen gibt es andere Möglichkeiten wie explizite und rekursive Bildungsgesetze.

Explizite Bildungsgesetze

Bei einer expliziten Bildungsvorschrift wird ein vom Index der Folge abhängiger Funktionsterm angegeben, mit der man die einzelnen Folgenglieder ausrechnen kann. Ein solches Bildungsgesetz wird meist folgendermaßen aufgeschrieben: Für alle wird definiert

Ein Beispiel ist die Vorschrift für alle für die Folge aller Quadratzahlen. Man kann diese Folge so aufschreiben:

Eine explizite Bildungsvorschrift der Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die einzelnen Folgenglieder berechnet werden können, ohne andere Folgenglieder kennen zu müssen. Wenn man also ein bestimmtes Folgenglied berechnen möchte, so muss man nur den gewünschten Index in die Formel der expliziten Bildungsvorschrift einsetzen und den Wert dieser Formel berechnen.

Rekursive Bildungsgesetze

Eine rekursive Bildungsvorschrift zeichnet sich dadurch aus, dass man zur Berechnung einzelner Folgenglieder die Vorgänger dieser Folgenglieder kennen muss. Dies erkennt man daran, dass in der Funktion zur Berechnung eines Folgenglieds die vorhergehenden Folgenglieder mit auftauchen. Allgemein kann eine reelle Folge folgendermaßen rekursiv definiert werden:

für ein

irgendein Term mit für alle

 

Da man zur Berechnung einzelner Folgenglieder bereits die Vorgänger kennen muss, muss bei der rekursiven Definition einer Folge das erste Folgenglied explizit benannt werden. So ist ein Beispiel für ein rekursives Bildungsgesetz:

ü

Die erste Formel definiert das erste Folgenglied explizit und wird Rekursionsanfang genannt. Durch die zweite Formel, welche man Rekursionsschritt nennt, kann ein neues Folgenglied aus dessen Vorgänger berechnet werden. Zunächst gibt man über den Rekursionsanfang das erste Folgenglied vor und berechnet dann durch wiederholte Anwendung des Rekursionsschritts weitere Folgenglieder. Es ist:

Rekursive Bildungsgesetze für Folgen sind meist einfacher zu finden als explizite Bildungsvorschriften. Bei expliziten Bildungsvorschriften sind aber die Eigenschaften einer Folge meist einfacher aus dem Bildungsgesetz ablesbar als bei rekursiv definierten Folgen. Auch ist bei expliziten Bildungsvorschriften die Berechnung der Folgenglieder einfacher. Angenommen, wir möchten das 1000-te Folgenglied berechnen. Bei einem expliziten Bildungsgesetz können wir 1000 direkt in die gegebene Formel einsetzen. Bei einer rekursiven Bildungsvorschrift muss man erst einmal alle unbekannten 998 Vorgänger ausrechnen.

Beispiele und Eigenschaften von Folgen

Eine Folge heißt konstant, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind. So ist folgende Folge konstant:

Mit lautet die allgemeine Formel einer konstanten Folge für alle .

Arithmetische Folgen

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Beispiel für eine arithmetische Folge: für alle [Quelle]

Arithmetische Folgen haben die Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. So ist die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen eine arithmetische Folge, da sie eine konstante Differenz von 2 zwischen zwei Folgengliedern besitzt:

Geometrische Folge

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Beispiel einer geometrischen Folge: für alle [Quelle]

Bei der geometrischen Folge ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant. Dabei darf kein Folgenglied 0 sein, da man sonst kein Verhältnis zum nächsten Folgenglied bilden könnte. Ein Beispiel hierfür ist die Zahlenfolge mit dem konstanten Verhältnis 2 :

Alternierende Folgen

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Beispiel einer alternierenden Folge: für alle [Quelle]

Bei einer alternierenden Folge ändert sich das Vorzeichen zwischen zwei Folgengliedern. Der Begriff „alternierend“ bedeutet hier „regelmäßiger Vorzeichenwechsel“. So wechselt bei der Folge der Wert immer zwischen 1 und , so dass diese Folge eine alternierende Folge ist. Ein weiteres Beispiel ist die Folge mit .

Folge der Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Folge ist eine in der Mathematik besonders populäre Folge, auf die 1202 der Mathematiker Leonardo Fibonacci in seinen Arbeiten stieß (nach ihm wurde auch diese Folge benannt). Er untersuchte das Verhalten einer Kaninchenpopulation, für die er folgende Regeln aufstellte:

  1. Zu Beginn gibt es ein Paar geschlechtsreifer Kaninchen.
  2. Jedes neugeborene Paar wird im zweiten Lebensmonat geschlechtsreif.
  3. Jedes geschlechtsreife Paar wirft pro Monat ein weiteres Paar.
  4. Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Lebensraum, so dass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Es stirbt auch kein Kaninchen.

 

Mischfolgen

Mischfolgen sind Verallyemeinerungen der alternierenden Folge. Aus zwei Folgen und können wir eine neue Folge bilden, bei der sich die Folgenglieder aus und abwechseln. Wir betrachten also die Folge

Ein Folgenglied mit ungeradem Index, sagen wir fur , stimmt mit dem Folgenglied der Folge überein. Und ein Folgenglied mit geradem Index, sagen wir fur , stimmt mit dem Folgenglied der Folge überein.

Um nun eine allgemeine Formel fur mit zu erhalten, unterscheiden wir, ob ungerade oder gerade ist. Ist ungerade, wählen wir , damit gilt, und erhalten . Entsprechend gilt für gerades die Formel Insgesamt gitt daher

üü

ist dann die Mischfolge aus den Folgen und

Wenn du eine Aufgabe lösen willst, in der eine Folge durch eine Fallunterscheidung, ob ungerade oder gerade ist, definiert ist, ist diese Folge eine Mischfolge zweier Folgen mit einem einfacheren Bildungsgesetz. Prinzipiell ist aber jede beliebige Folge eine Mischfolge, und zwar aus den beiden Folgen und . Zum Beispiel ist die Folge der natürlichen Zahlen die Mischfolge aus der Folge der ungeraden Zahlen und der Folge der geraden Zahlen.

Eigenschaften und wichtige Begriffe

Beschränkte Folge

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Ein Beispiel einer beschränkten Folge mit einigen eingezeichneten Schranken. [Quelle]

Eine Folge nennt man in der Mathematik nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die die Folgenglieder nie überschreiten. Eine solche reelle Zahl wird obere Schranke der Folge genannt („diese Zahl beschränkt die Folge von oben"). Damit ergibt sich folgende Definition einer nach oben beschränkten Folge:

ist nach oben beschränkt:

Analog ist eine Folge nach unten beschränkt, wenn sie eine untere Schranke besitzt. Es gibt also eine reelle Zahl, die die Folgenglieder nicht unterschreiten. Dementsprechend ist die untere Beschränktheit definiert mit:

ist nach unten beschränkt:

Wenn eine Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, nennt man diese Folge beschränkt. Damit haben wir die Definitionen:

 
Definition

obere Schranke: Eine obere Schranke ist eine Zahl, die größer als jedes Folgenglied einer Folge ist. ist eine obere Schranke von , wenn für alle ist.

nach oben beschränkte Folge: Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn sie irgendeine obere Schranke besitzt.

untere Schranke: Eine untere Schranke ist eine Zahl, die kleiner als jedes Folgenglied einer Folge ist. ist eine untere Schranke von , wenn für alle ist.

nach unten beschränkte Folge: Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn sie irgendeine untere Schranke besitzt.

beschränkte Folge: Eine Folge ist beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.

Monotone Folgen

Folgen werden auch nach ihrem Wachstumsverhalten unterschieden: Werden die Folgenglieder einer Folge immer größer (also jedes nachfolgende Folgenglied ist größer als ), so nennt man diese Folge eine streng monoton wachsende Folge. Analog heißt eine Folge mit immer kleiner werdenden Folgengliedern streng monoton fallende Folge. Wenn man bei diesen Begriffen auch zulassen möchte, dass eine Folge zwischen zwei Folgengliedern konstant sein darf, nennt man die Folge monoton wachsende Folge oder monoton fallende Folge.

 
Hinweis
Merke dir: „streng monoton“ bedeutet so viel, wie „immer größer“oder „immer kleiner“ werdend. Demgegenüber bedeutet „monoton“, ohne das „streng", so viel wie „immer größer werdend oder konstant bleibend" bzw. „immer kleiner werdend oder konstant bleibend".

 Wir erhalten folgende Definition:

 
Definition

monotone Folgen
Für eine reelle Folge definieren wir:

ääää

Definition Grenzwert

In diesem Kapitel wird das Konzept des Grenzwerts (auch Limes genannt) bzw. der Konvergenz einer Folge eingeführt. Da Begriffe wie Stetigkeit, Ableitung und Integral mithilfe des Grenzwertbegriffes definiert werden, ist der Grenzwert sehr wichtig. Er bildet damit das Rückgrat der Analysis.

Intuition hinter der Idee der Konvergenz

Um eine mathematische Definition des Grenzwerts zu finden, sollten wir zunächst eine intuitive Idee für diesen Begriff bekommen. Schauen wir uns dafür die harmonische Folge an. Sie hat die Folgenglieder

Diese nähern sich von oben immer mehr der Null an und man kann intuitiv sagen:

  • Die Folge geht beliebig nah an
  • Je größer ist, desto mehr nähert sich der 0 an.
  • Die Folge strebt gegen 0 .
  • Die Folge erreicht im Unendlichen die

Alle diese Erklärungen beschreiben intuitiv, was wir in der Analysis den Grenzwert einer Folge nennen. In diesem Fall ist 0 der Grenzwert der harmonischen Folge .

Herleitung der Definition des Grenzwerts

Erste Schritte

Um als Mathematiker mit dem Begriff des Grenzwerts arbeiten zu können, brauchen wir eine klare und exakte Definition. Diese können wir finden, indem wir mit einer intuitiven Idee starten und diese so lange konkretisieren, bis wir eine exakte mathematische Definition haben. Die Konkretisierung erfolgt so lange, bis wir eine Formulierung finden, die nur noch bereits definierte Begriffe enthält. Fangen wir mit der folgenden intuitiven Beschreibung des Grenzwerts an:

 
Hinweis

„Eine Folge hat einen Grenzwert , wenn ihre Folgenglieder beliebig nahe an gehen."

Wenn die Folgenglieder nun, „beliebig nahe“ an herangehen, wird der Abstand zum Grenzwert immer kleiner. Nun nehmen wir einen sehr schmalen „Schlauch “ (man kann es sich wie einen Gartenschlauch vorstellen), der den Radius hat. Diesen „fädeln “ wir von rechts über den Grenzwert. Solange der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert kleiner als der Schlauch dick ist, kann man den Schlauch noch weiter nach links schieben. Alle Punkte befinden sich immer noch innerhalb des Schlauches. Sobald ein Punkt aber einen größeren Abstand zum Grenzwert hat, kann er nicht mehr innerhalb des Schlauches liegen. An dieser Stelle müssen wir aufhören, den Schlauch weiter aufzufädeln.

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Epsilonschlauch [Quelle]

Der Punkt ist das Folgenglied, ab dem alle späteren Folgenglieder (also mit Index größer gleich ) innerhalb des Schlauches liegen. Direkt vor liegt ein Punkt, der außerhalb des Schlauchs liegt. Wenn wir den Schlauch jetzt dünner machen, können vielleicht nicht mehr alle Punkte innerhalb des Schlauches liegen, die vorher im großen Schlauch lagen. Deshalb kann man den dünnen Schlauch nicht mehr so weit nach links schieben, wenn noch alle Punkte innerhalb des Schlauches liegen sollen. Jedoch ist es auch bei ihm möglich, dass fast alle Folgenglieder „eingefangen “werden können:

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Epsilonschlauch klein [Quelle]

Nun ist der Punkt, der nicht mehr in den dünneren Schlauch passt, weiter rechts als im vorherigen Bild. Das neue erste Folgenglied im Schlauch nennen wir . Alle Folgenglieder mit einem Index größer gleich liegen in dem dünneren Schlauch.

Dieser Schlauch hat keine nähere mathematische Bedeutung. Wir haben ihn nur verwendet, um zu zeigen, dass die Folgenglieder immer näher an der gestrichtelten Linie liegen. Sie gehen also immer näher an heran und insbesondere auch nicht mehr weiter weg, da sie ja ab einem bestimmten Index alle innerhalb des Schlauches liegen, egal wie dünn dieser ist. Haben wir das verstanden, brauchen wir den „Schlauch “ nicht mehr. Was bisher unser beliebig dünner Schlauch mit Radius war, werden wir -Umgebung nennen.

In jeder Umgebung um den Grenzwert liegen fast alle Folgenglieder

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Der Grenzwert ist eine Zahl, so dass für jede Umgebung fast alle Folgenglieder in dieser Umgebung um die Zahl liegen. [Quelle]

Wir haben Indizes wie bzw. gefunden, ab denen alle nachfolgenden Folgenglieder innerhalb der jeweiligen -Schläuche liegen. Machen wir den Schlauch noch dünner, finden wir entsprechend ein , ab dem alle Folgenglieder im Schlauch liegen und so weiter. Egal wie dünn wir den Schlauch machen, es wird immer einen Punkt geben, ab dem alle weiteren Folgenglieder im Schlauch liegen.

Da solche Startindizes wie natürliche Zahlen sind, kann es nur endlich viele Folgenglieder geben, die außerhalb des Schlauches liegen (nämlich höchstens Folgenglieder). Alle restlichen Folgenglieder liegen innerhalb des Schlauchs. Da eine Folge unendlich viele Folgenglieder hat, kann man die endlich vielen Glieder, die außerhalb liegen, vernachlässigen und sagen, dass fast alle Glieder innerhalb des Schlauches liegen. Das geht selbst, wenn das sehr groß ist. Denn in Relation zu unendlich vielen Folgegliedern, die innerhalb des Schlauchs liegen, sind endlich viele Folgeglieder außerhalb des Schlauchs wenig - egal wie groß ist. Das zu verstehen ist wichtig, um den Grenzwertbegriff zu verstehen.

Wir haben also herausgefunden, dass fast alle Folgenglieder in dem Schlauch liegen, egal wie dünn dieser ist. Das heißt, dass die Folgenglieder immer näher an den Grenzwert herangehen. Und das ist es, was den Grenzwert ausmacht. Die Folgenglieder liegen beliebig nah am Grenzwert , wenn wir hinreichend große betrachten.

Was bedeutet „fast alle"?

Dazu stellen wir uns ein Koordinatensystem vor, auf dem unendlich viele Folgenglieder einer konvergierenden Folge dargestellt sind. Nun nehmen wir einen -Schlauch und fädeln ihn von rechts über den Grenzwert ein. Dann passt eine endliche Anzahl an Folgengliedern nicht in den Schlauch, weil der Abstand zum Grenzwert nicht klein genug ist. Jedoch liegen unendlich viele Folgenglieder innerhalb des Intervalls und damit im -Schlauch.

Die Anzahl der Folgenglieder, die innerhalb des Intervalls liegen, ist also überwältigend groß im Vergleich zur Anzahl der Folgenglieder außerhalb dieses Intervalls. Man sagt daher, dass fast alle Folgenglieder im Intervall liegen.

Wenn „fast alle“ Folgenglieder im Intervall liegen, so bedeutet es, dass „alle bis auf endlich viele“ Folgenglieder ein Element dieses Intervalls sind.

Verfeinerung der mathematischen Definition

Insgesamt können wir definieren:

 
Hinweis

Eine Folge hat einen Grenzwert , wenn es für jede -Umgebung von , also , ein Folgenglied gibt, ab dem alle folgenden Folgenglieder Elemente der Umgebung sind.

Obige Aussage könnten wir als mathematische Definition des Grenzwerts verwenden. Jedoch ist es sinnvoll, diese Definition noch weiter zu formalisieren.

Nun ist ein Folgenglied genau dann ein Element von , wenn ist. Also:

 
Hinweis

Eine Folge hat einen Grenzwert , wenn es zu jedem ein Folgenglied gibt, ab dem für alle folgenden Folgenglieder die Ungleichung erfüllt ist.

Den Teil „es gibt ein Folgenglied, ab dem gilt ...“ können wir umformulieren zu ,es gibt eine natürliche Zahl , so dass für alle mit gilt ...". Somit:

 
Hinweis

Eine Folge hat einen Grenzwert , wenn es zu jedem eine natürliche Zahl gibt, so dass für alle ist.

Dies ist dann auch die mathematische Definition des Grenzwerts.

Definition des Grenzwerts

 
Definition

Grenzwert
Eine Folge besitzt einen Grenzwert , wenn es zu jedem einen Folgenindex gibt, so dass für alle Folgenglieder mit die Ungleichung erfüllt ist. Es ist also genau dann ein Grenzwert von , wenn gilt:

Kommentiert lautet die prädikatenlogische Definition des Grenzwerts:

ü

 

Es folgen einige Definitionen im Zusammenhang mit dem Grenzwert:

 
Definition

Konvergenz:

Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt. Man sagt auch, dass eine Folge gegen a konvergiert, wenn sie den Grenzwert besitzt.

 
Definition

Divergenz:

Eine Folge nennt man divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt.

 
Definition

Nullfolge:

Eine Nullfolge ist eine konvergente Folge mit dem Grenzwert

Wenn eine Folge gegen konvergiert, schreibt man oder „a_n für ". Man spricht hier „Limes von