Bestimmte Divergenz

Bisher haben wir vor allem die Konvergenz von Folgen untersucht. In diesem Kapitel werden wir uns mit divergenten Folgen beschäftigen. Hier können nämlich zwei Arten der Divergenz unterschieden werden: Bestimmte und unbestimmte Divergenz.

Motivation

Wenn wir uns divergente Folgen anschauen, dann gibt es Folgen wie , und , die ein eindeutiges streben gegen oder aufweisen:

Bei solchen Folgen werden wir sagen, dass sie bestimmt gegen beziehungsweise gegen divergieren. Demgegenüber gibt es bei Folgen wie oder kein solches eindeutiges Streben. Die Folge ist beschränkt und kann deswegen weder gegen noch gegen divergieren.

Die Folge ist zwar unbeschränkt, ihr Streben ist aber nicht eindeutig. Diese Folge besitzt nämlich Teilfolgen, die gegen streben, und andere Teilfolgen, die gegen streben:

Definition

Wir haben gesehen, dass die bestimmte Divergenz das eindeutige Streben einer Folgen gegen oder gegen ist. Wie kann dies mathematisch formuliert werden?

Beginnen wir mit der bestimmten Divergenz gegen Wenn eine Folge gegen strebt, dann wird diese Folge größer als jede Zahl - egal wie groß sie ist. Mehr noch: Egal wie groß man eine Zahl annimmt, fast alle Folgenglieder dieser Folge liegen über dieser Zahl. Es existiert also ein Index , ab dem alle folgenden Folgenglieder größer gleich sind. Damit wird die Zahl ab dem Index nicht mehr unterschritten. Dies ist dann auch die Definition der bestimmten Divergenz gegen :

Wir können die Aussageform der bestimmten Divergenz gegen unendlich so übersetzen:

Analog können wir die bestimmte Divergenz gegen definieren:

Schreibweise

Wenn eine Folge gegen bestimmt divergiert, dann schreiben wir

Analog benutzen wir folgende Schreibweise, wenn eine Folge gegen bestimmt divergiert:

Bestimmte Divergenz als uneigentliche Konvergenz

Die Schreibweise suggeriert, dass die Folge gegen unendlich konvergiert. Hier liegt aber eine Divergenz und keine Konvergenz vor! Das Symbol ist nämlich keine reelle Zahl. Konvergente Folgen dürfen per Definition aber nur reelle Zahlen als Grenzwerte besitzen. Es gibt allerdings Parallelen zwischen der Konvergenz und der bestimmten Divergenz:

Dementsprechend gibt es für bestimmte Divergenz auch den Begriff der uneigentlichen Konvergenz. Das Wort „uneigentliche Konvergenz “ deutet darauf hin, dass die bestimmte Divergenz gewisse Ähnlichkeiten zur Konvergenz aufweist. Sie ist aber in ihrem Wesen eine Divergenz.