Definition von Folgen

Die Folge ist einer der wichtigsten Begriffe in der Analysis. Anhand von Folgen werden wir nämlich später den Begriff des Grenzwerts definieren. Damit wiederum können wir alle wichtigen Konzepte der Analysis wie die Ableitung und die Stetigkeit einführen.

Der Begriff der Folge im Alltag

Der Begriff der „Folge“ ist uns bereits aus dem alltäglichen Leben bekannt.

Es gibt eine genau definierte Anordnung der Folgenglieder, die beachtet werden muss. Nach dem Aufstehen sollte man zuerst Kaffee kochen, bevor man diesen trinkt (die umgekehrte Reihenfolge wäre suboptimal ).

Außerdem können in einer Folge ein oder mehrere Objekte mehrmals als Folgenglieder auftreten. In der Folge der Fußballweltmeister kommen einige Nationen mehr als einmal vor, weil sie die Fußballweltmeisterschaft mehr als einmal gewonnen haben. Dies unterscheidet eine Folge insbesondere von einer Menge. Für eine Menge kann nämlich nicht sinnvoll gefragt werden, wie oft ein Element in ihr vorkommt. Man kann nur fragen, ob ein Objekt Element einer Menge ist oder nicht.

Des Weiteren kannst du die einzelnen Folgenglieder einer Folge durchnummerieren. Du kannst sagen, wer der erste Präsident der USA, der zweite und so weiter war. Jedem Element einer Folge kann also eine oder mehrere Zahlen zugeordnet werden, die angeben, wo dieses Objekt in der Folge vorkommt.

Viele der im Alltag bekannten Folgen sind endlich, es sind aber auch unendliche Folgen vorstellbar. Würde man bis in alle Ewigkeit Fußballweltmeisterschaften austragen, wäre die Folge der Fußballweltmeister unendlich lang.

Formale Definition

Kommen wir nun zu dem Begriff der Folge in der Mathematik. Der große Unterschied zum Folgenbegriff im Alltag ist der, dass in der Mathematik eine Folge immer unendlich lang ist. In der Mathematik gibt es auch endliche Folgen, welche aber Tupel genannt werden. Diese sind endliche Abfolgen von Objekten und entsprechen den endlichen Folgen aus dem Alltag.

Eine Folge ist also eine unendliche Abfolge von Objekten. Dabei steht für das Objekt an der ersten Stelle, für das Objekt an der zweiten Stelle und so weiter. Für Folgen gibt es die abkürzende Schreibweise . Damit lautet die (intuitive) Definition einer Folge:

Diese Definition ist intuitiv, weil wir den Begriff, „unendliche Abfolge " nicht exakt definiert haben. Dies muss für eine exakte Definition nachgeholt werden.

Beispiele:

Die Folge der natürlichen Zahlen ist:

Die Folge der Zweierpotenzen ist:

Wichtige Begriffe

Die einzelnen Elemente einer Folge werden Folgenglieder genannt. Dabei werden die Folgenglieder mit einer natürlichen Zahl durchnummeriert. Diese natürliche Zahl nennt man Index. So ist beispielsweise das Folgenglied zum Index 4 .

Für eine Folge mit Elementen aus der Menge ist ein Folgenglied ein konkretes Element aus der Menge . Nehmen wir die Folge . Das Folgenglied ist das identische Objekt wie oder , nämlich die Zahl

Meint man die gesamte Folge, schreibt man Zwei Kurzschreibweisen für sind und . Häufig wird der Buchstabe als Indexvariable genutzt. Jeder Buchstabe kann aber als Indexvariable verwendet werden, solange er im jeweiligen Kontext keine andere Bedeutung hat. So sind auch die Schreibweisen oder möglich.

In der eindimensionalen Analysis betrachten wir vor allem Folgen mit reellen Zahlen als Folgenglieder. Diese speziellen Folgen nennt man reelle Folgen. In folgender Übersicht und in folgender Tabelle sind alle wesentlichen Begriffe zu den Bestandteilen von Folgen zusammengefasst:

Warnung:

Einige Studenten stellen sich unter einer reellen Folge eine kontinuierliche Funktion vor (insbesondere, wenn sie diese zeichnen wollen). Dies ist jedoch falsch, da eine reelle Folge nur aus einer Abfolge einzelner reeller Zahlen besteht. Dies demonstriert die folgende Gegenüberstellung der harmonischen Folge mit der Funktion mit . Beachte, dass es bei der harmonischen Folge im Gegensatz zur Funktion nur diskrete Werte (einzelne Punkte) im Graphen gibt:

Definition als Funktion

Definition

Oben haben wir die Folge intuitiv als unendliche Abfolge von Objekten definiert. Mit Hilfe des Funktionenbegriffs kann diese Definition konkretisiert und vor allem mathematisch exakt formuliert werden. Hierzu nehmen wir die Menge der natürlichen Zahlen und ordnen jeder natürlichen Zahl ein beliebiges Objekt zu (wobei diese Objekte aus einer Menge stammen, in der wir eine Folge bilden möchten). Damit erhalten wir eine unendliche und durchnummerierte Abfolge beliebiger Objekte, wie die folgende Skizze verdeutlicht:

Eine solche Zuordnung ist nichts anderes als eine Funktion , also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in eine Menge , die alle möglichen Folgenglieder enthält. So haben wir bei der Folge der deutschen Bundeskanzler die Zuordnung:

Die „unendliche Abfolge“ von Folgengliedern können wir somit als eine Funktion auffassen, die für jede natürliche Zahl angibt, was das -te Folgenglied sein soll:

Obige Definition nutzt nur bereits bekannte Konzepte und erfüllt damit die Anforderungen an eine mathematisch exakte Definition. Deswegen wird sie in den meisten Lehrbüchern als Definition einer Folge verwendet.