Explizite und rekursive Bildungsgesetze

Zur Definition einer Folge muss man eine Zuordnungsvorschrift angeben, die den einzelnen Indizes die Folgenglieder zuweist. Diese Zuordnungsvorschrift wird Bildungsgesetz der Folge (manchmal auch Bildungsvorschrift) genannt. Diese Zuordnungsvorschrift kann im Allgemeinen sehr kompliziert sein. Da eine Folge stets unendlich viele Glieder besitzt, kann man die Zuordnungsvorschrift nicht durch Aufzählung aller Folgenglieder definieren. Stattdessen gibt es andere Möglichkeiten wie explizite und rekursive Bildungsgesetze.

Explizite Bildungsgesetze

Bei einer expliziten Bildungsvorschrift wird ein vom Index der Folge abhängiger Funktionsterm angegeben, mit der man die einzelnen Folgenglieder ausrechnen kann. Ein solches Bildungsgesetz wird meist folgendermaßen aufgeschrieben: Für alle wird definiert

Ein Beispiel ist die Vorschrift für alle für die Folge aller Quadratzahlen. Man kann diese Folge so aufschreiben:

Eine explizite Bildungsvorschrift der Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die einzelnen Folgenglieder berechnet werden können, ohne andere Folgenglieder kennen zu müssen. Wenn man also ein bestimmtes Folgenglied berechnen möchte, so muss man nur den gewünschten Index in die Formel der expliziten Bildungsvorschrift einsetzen und den Wert dieser Formel berechnen.

Rekursive Bildungsgesetze

Eine rekursive Bildungsvorschrift zeichnet sich dadurch aus, dass man zur Berechnung einzelner Folgenglieder die Vorgänger dieser Folgenglieder kennen muss. Dies erkennt man daran, dass in der Funktion zur Berechnung eines Folgenglieds die vorhergehenden Folgenglieder mit auftauchen. Allgemein kann eine reelle Folge folgendermaßen rekursiv definiert werden:

für ein

irgendein Term mit für alle

 

Da man zur Berechnung einzelner Folgenglieder bereits die Vorgänger kennen muss, muss bei der rekursiven Definition einer Folge das erste Folgenglied explizit benannt werden. So ist ein Beispiel für ein rekursives Bildungsgesetz:

Die erste Formel definiert das erste Folgenglied explizit und wird Rekursionsanfang genannt. Durch die zweite Formel, welche man Rekursionsschritt nennt, kann ein neues Folgenglied aus dessen Vorgänger berechnet werden. Zunächst gibt man über den Rekursionsanfang das erste Folgenglied vor und berechnet dann durch wiederholte Anwendung des Rekursionsschritts weitere Folgenglieder. Es ist:

Rekursive Bildungsgesetze für Folgen sind meist einfacher zu finden als explizite Bildungsvorschriften. Bei expliziten Bildungsvorschriften sind aber die Eigenschaften einer Folge meist einfacher aus dem Bildungsgesetz ablesbar als bei rekursiv definierten Folgen. Auch ist bei expliziten Bildungsvorschriften die Berechnung der Folgenglieder einfacher. Angenommen, wir möchten das 1000-te Folgenglied berechnen. Bei einem expliziten Bildungsgesetz können wir 1000 direkt in die gegebene Formel einsetzen. Bei einer rekursiven Bildungsvorschrift muss man erst einmal alle unbekannten 998 Vorgänger ausrechnen.