In diesem Kapitel wird das Konzept des Grenzwerts (auch Limes genannt) bzw. der Konvergenz einer Folge eingeführt. Da Begriffe wie Stetigkeit, Ableitung und Integral mithilfe des Grenzwertbegriffes definiert werden, ist der Grenzwert sehr wichtig. Er bildet damit das Rückgrat der Analysis.
Um eine mathematische Definition des Grenzwerts zu finden, sollten wir zunächst eine intuitive Idee für diesen Begriff bekommen. Schauen wir uns dafür die harmonische Folge
Diese nähern sich von oben immer mehr der Null an und man kann intuitiv sagen:
Alle diese Erklärungen beschreiben intuitiv, was wir in der Analysis den Grenzwert einer Folge nennen. In diesem Fall ist 0 der Grenzwert der harmonischen Folge
Um als Mathematiker mit dem Begriff des Grenzwerts arbeiten zu können, brauchen wir eine klare und exakte Definition. Diese können wir finden, indem wir mit einer intuitiven Idee starten und diese so lange konkretisieren, bis wir eine exakte mathematische Definition haben. Die Konkretisierung erfolgt so lange, bis wir eine Formulierung finden, die nur noch bereits definierte Begriffe enthält. Fangen wir mit der folgenden intuitiven Beschreibung des Grenzwerts an:
„Eine Folge hat einen Grenzwert
Was bedeutet „beliebig nahe “ im obigen Satz? Wir können es so übersetzen: Stellen wir uns die Folgenglieder in einem Koordinatensystem vor, wobei auf der
Wenn die Folgenglieder nun, „beliebig nahe“ an
Der Punkt
Nun ist der Punkt, der nicht mehr in den dünneren Schlauch passt, weiter rechts als im vorherigen Bild. Das neue erste Folgenglied im Schlauch nennen wir
Dieser Schlauch hat keine nähere mathematische Bedeutung. Wir haben ihn nur verwendet, um zu zeigen, dass die Folgenglieder immer näher an der gestrichtelten Linie liegen. Sie gehen also immer näher an
Wir haben Indizes wie
Da solche Startindizes wie
Wir haben also herausgefunden, dass fast alle Folgenglieder in dem Schlauch liegen, egal wie dünn dieser ist. Das heißt, dass die Folgenglieder immer näher an den Grenzwert
Dazu stellen wir uns ein Koordinatensystem vor, auf dem unendlich viele Folgenglieder einer konvergierenden Folge dargestellt sind. Nun nehmen wir einen
Die Anzahl der Folgenglieder, die innerhalb des Intervalls
Wenn „fast alle“ Folgenglieder im Intervall
Insgesamt können wir definieren:
Eine Folge hat einen Grenzwert
Obige Aussage könnten wir als mathematische Definition des Grenzwerts verwenden. Jedoch ist es sinnvoll, diese Definition noch weiter zu formalisieren.
Nun ist ein Folgenglied
Eine Folge
Den Teil „es gibt ein Folgenglied, ab dem gilt ...“ können wir umformulieren zu ,es gibt eine natürliche Zahl
Eine Folge
Dies ist dann auch die mathematische Definition des Grenzwerts.
Grenzwert
Eine Folge
Kommentiert lautet die prädikatenlogische Definition des Grenzwerts:
Es folgen einige Definitionen im Zusammenhang mit dem Grenzwert:
Konvergenz:
Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt. Man sagt auch, dass eine Folge gegen a konvergiert, wenn sie den Grenzwert
Divergenz:
Eine Folge nennt man divergent, wenn sie keinen Grenzwert besitzt.
Nullfolge:
Eine Nullfolge ist eine konvergente Folge mit dem Grenzwert
Wenn eine Folge gegen
Für den Betrag gilt
Es ist also egal, ob wir
Aus der Definition der Konvergenz folgt unmittelbar, dass
Dies entspricht aber der Definition dafür, dass
Somit gilt auch
Warnung
Im Studium begegnet man hin und wieder der Fehlvorstellung „Eine Folge divergiert genau dann, wenn sie unbeschränkt ist.“ Diese Aussage ist falsch!
Der intuitive Denkfehler dahinter ist wahrscheinlich oft der voreilige Schluss: „Das Gegenteil von
Zwar ist jede unbeschränkte Folge divergent (siehe hierzu das Kapitel Unbeschränkte Folgen divergieren), aber nicht jede divergente Folge muss zwangsläufig unbeschränkt sein. Ein Beispiel hierfür ist die Folge
Neben der obigen Herleitung gibt es eine weitere Intuition für den Grenzwertbegriff: Die Größe
Diese Interpretation kann auch durch die Wahl der Variablen gestützt werden. Augustin-Louis Cauchy könnte mit
Schauen wir uns das Ganze bei der harmonischen Folge mit dem allgemeinen Glied
Nimm zum Beispiel
Machen wir das nun ganz allgemein und denken uns ein beliebiges
Eindeutigkeit des Grenzwerts
Jede konvergente Folge besitzt nur einen einzigen Grenzwert.
Eindeutigkeit des Grenzwerts
Dieser Satz macht Ausdrücke wie
Eindeutigkeit des Grenzwerts
Den Satz werden wir indirekt über einen Widerspruchsbeweis zeigen. Hierzu gehen wir davon aus, dass es eine konvergente Folge
Nennen wir die beiden Grenzwerte
Nimm also ein Blatt Papier und zeichne eine Zahlengerade ein. Markiere nun zwei verschiedene Zahlen auf der Zahlengerade, die unsere zwei Grenzwerte
Wenn man also
Nach Kürzung beider Seiten mit