In diesem Kapitel werden wir sehen, dass unbeschränkte Folgen divergieren müssen. Daraus werden wir folgern, dass konvergente Folgen beschränkt sein müssen.
Im Kapitel Konvergenz und Divergenz beweisen haben wir bereits gezeigt, dass die Folge
Unendlich viele Folgenglieder von
Diese Beweisskizze können wir auf beliebige unbeschränkte Folgen verallgemeinern. Wir hatten ausgenutzt, dass
Eine Folge
Diese Eigenschaft können wir verwenden, um folgenden Satz zu beweisen:
Unbeschränkte Folgen divergieren
Sei
Unbeschränkte Folgen divergieren
Mit diesem Satz können wir beweisen, dass eine Folge divergiert. Wenn wir nachweisen können, dass eine Folge unbeschränkt ist, wissen wir also sofort. dass sie divergiert.
Unbeschränkte Folgen divergieren
Genau wie in der obigen Beweisskizze nehmen wir eine beliebige Zahl
Wir wissen, dass unendlich viele
Aus
Laut dem obigen Satz müssen unbeschränkte Folgen divergieren. Mit Hilfe von Kontraposition können wir folgern, dass konvergente Folgen beschränkt sein müssen. Das Prinzip der Kontraposition lautet:
Obiger Satz ist die Implikation:
Also muss nach dem Prinzip der Kontraposition gelten:
Dies bedeutet dasselbe wie
Wer daran zweifelt, dass Kontraposition tatsächlich funktioniert, kann sich die Wahrheitstafeln von
konvergente Folgen sind beschränkt
Jede konvergente Folge ist beschränkt. Wenn also eine Folge
Die Umkehrung des Satzes muss nicht gelten. Das bedeutet: Eine beschränkte Folge muss nicht konvergieren. Eine divergente Folge muss nicht unbeschränkt sein.
Ein Gegenbeispiel ist die Folge