Satz von Schwarz

Der Satz von Schwarz (auch Young-Theorem genannt) wird wichtig, wenn es um partielle Ableitungen höherer Ordnung geht. Er sagt aus, dass bei Funktionen mehrerer Variablen, die mehrfach stetig differenzierbar sind, die Reihenfolge der Durchführung der einzelnen partiellen Ableitungen keinen Unterschied für das Ergebnis macht. 

Satz von Schwarz

 

Bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen, ist die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen für eine gemischte partielle Ableitung höherer Ordnung, durchgeführt werden, keinen Unterschied im Ergebnis macht. Für zwei Variablen gilt also:

Ganz mathematisch lautet der Satz so: 

Sei in einer Umgebung des Punktes stetig. Außerdem sollen die partiellen Ableitungen und in existieren und in stetig sein.

Der Satz von Schwarz besagt jetzt, dass unter diesen Bedingungen auch die partielle Ableitung in existiert und es gilt:

( und  sind hier einfach beliebige Variablen, von denen die Funktion abhängt.)

Der Satz von Schwarz lässt sich auf beliebig viele Variablen ausweiten. 

 

Beispielsweise gilt also für die Funktionen und

wenn die Bedingungen erfüllt sind. 

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