Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange)

Themen:

Neues Thema vorschlagen

Theorie:

Mehrdimensionale Extrema mit Nebenbedingungen

Um Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen unter Nebenbedingungen zu finden, kann man zwei verschiedene Verfahren anwenden. 

1. Verfahren: Einsetzen der Nebenbedingung

 
  1. Stelle alle Nebenbedingungen so um, dass du alle vorkommenden Variablen durch eine Variable ausdrücken kannst. In Abhängigkeit welcher der Variablen du die anderen Veränderlichen ausdrückst, ist dabei egal. 

  2. Setze diese Variablen nun in deine Zielfunktion ein, sodass die Zielfunktion nur noch von einer Veränderlichen abhängt.

  3. Finde jetzt die Extremstellen der Zielfunktion mit den eingesetzten Variablen und bestimme - falls gefragt - deren Art.

  4. Um die Extremwerte der ersetzten Variablen zu finden musst du jetzt noch deine gefundenen Extremwerte in die gegebenen Nebenbedingungen einsetzen. 

Hinweis:

Dieses Verfahren kannst du nur anwenden, wenn sich die Nebenbedingungen eindeutig umstellen lassen. Eine Nebenbedingung, wie beispielsweise kann nicht eindeutig nach umgestellt werden, da durch das Ziehen der Wurzel eine negative und eine positive Lösung entsteht. Auch Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen lassen sich also nicht mit diesem Verfahren lösen. 



2. Verfahren: Lagrange Optimierungsverfahren

 
  1. Stelle zunächst alle gegebenen Nebenbedingungen nach um, sodass sie die Form haben.

  2. Multipliziere alle Nebenbedingungen jeweils mit einem Parameter und addiere diese zu deiner Zielfunktion . Das ergibt die sogenannte Hilfsfunktion (Lagrange-Funktion).
    In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht die Lagrange-Funktion so aus:


  3. Im nächsten Schritt leitest du die Hilfsfunktion partiell nach jeder vorkommenden Variable, also nach und ab.

  4. Wenn du nun all diese partiellen Ableitungen gleich setzt, ergibt sich ein Gleichungssystem, bestehend aus allen partiellen Ableitungen. Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert dir die gesuchten Extremstellen. 

  5. Um nun die Art der jeweiligen Extremstelle anzugeben, stellst du die geränderte Matrix der Lagrange-Funktion auf. Die geränderte Matrix ist die Hesse-Matrix, allerdings mit als erster Variable. 
    In zwei Variablen und mit einer Nebenbedingung sieht diese Matrix grundsätzlich so aus:

    Unter Verwendung von und des Satzes von Schwarz solltest du auf folgende Matrix kommen: 

    Hinweis: Falls es nur zwei Variablen und eine Nebenbedingung gibt, genügt es, die normale Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion zu betrachten.

  6. Wenn du nun die Art einer Extremstelle bestimmen willst, betrachtest du die Hauptminoren , für der geränderten Matrix an deiner Extremstelle:
    • negativ und weitere Hauptminoren alternieren: Minimum (positive Definitheit).
    • positiv und weitere Hauptminoren alternieren: Maximum (negative Definitheit).
Definitheit von Matrizen

Die Definitheit ist eine Eigenschaft, welche einer quadratischen Matrix zugeordnet werden kann. Die Definitheit einer Matrix zu kennen, ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik oft sehr wichtig. Ein Beispiel sind die Extremwertaufgaben im mehrdimensionalen Raum. Falls z.B. die Hesse-Matrix einer Funktion an einem kritischen Punkt positiv definit ist, so weisst du das in diesem Punkt ein lokales Minimum besitzt.

Kategorisierung:

Bei der Frage nach der Definitheit werden insgesamt 5 Arten unterschieden, die formal über die folgende Definition festegelegt sind:

Definitheit einer Matrix 

 

Sei ein beliebiger n-zeiliger Spaltenvektor mit . Eine quadratische Matrix heißt:

 

positiv definit falls
positiv semidefinit falls
negativ definit falls
negativ semidefinit falls
indefinit falls weder positiv noch negativ (semi-)definit

Bestimmen der Definitheit:

Um die Definitheit einer Matrix zu bestimmen gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Die beiden bekanntesten sind das Hauptminorantenkriterium und die Eigenwertmethode. Bei ersterem erfolgt die Berechnung über die Hauptminoren der Matrix und bei der Eigenwertmethode über die Bestimmung der Eigenwerte.

Die Entscheidung, welches Verfahren sich im einzelnen anbietet liegt daran, ob du nur Informationen über positiv/negativ Definitheit suchst oder auch über semidefinit und indefinit. Merke dir hierfür:

  • Willst du lediglich untersuchen ob eine Matrix positiv oder negativ Definit ist, so nutze das Hauptminorantenkriterium.
  • Ist zusätzlich interessant ob die Matrix semidefinit/undefinit ist, so nutze die Eigenwertmethode.
 
Mehrdimensionale Extremstellen

Das Bestimmen von Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen funktioniert ganz ähnlich wie bei eindimensionalen Funktionen. Du musst zunächst die kritischen Stellen finden, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmst. Dann kannst du mithilfe der zweiten Ableitung die Art der gefundenen Extrema bestimmen.

Mehrdimensionale Extremstellen

 
  1. Bestimme den Gradienten von der Funktion .

  2. Setze jede Zeile des Gradienten gleich und löse das entstandene Gleichungssystem. Die Lösungen liefern dir die kritischen Punkte.

  3. Berechne die Hesse-Matrix von .

  4. Setze deine kritischen Punkte in ein und bestimme jeweils die Definitheit dieser Matrix:
    • positiv definit: Minimum
    • negativ definit: Maximum
    • indefinit: Sattelpunkt
    • positiv semidefinit: Minimum oder Sattelpunkt
    • negativ semidefinit: Maximum oder Sattelpunkt

Wenn noch nach der Unterscheidung von lokalen und globalen Extrema gefragt ist, dann beachte:

  • Falls die berechnete Hesse-Matrix schon vor dem Einsetzen der Werte nicht mehr von den Veränderlichen abhängt, dann ist der entsprechende kritische Punkt ein globales Maximum ( negativ definit) bzw. ein globales Minimum ( positiv definit).
  • Ansonsten musst du noch die Randpunkte deiner gegebenen Definitionsmenge untersuchen. Das globale Minimum bzw. Maximum entspricht dann einfach den kleinsten bzw. größten Funktionswert aus lokalen Extremstellen und Randpunkten.

Ist positiv oder negativ semidefinit, lässt sich erstmal keine genauere Aussage über die Art der Extremstelle treffen, du musst also die Umgebung des kritischen Punktes betrachten.

Spezialfall:

Falls die Hesse-Matrix am kritischen Punkt der Null-Matrix entspricht, musst du die dritten partiellen Ableitungen der Funktion bilden. Falls nur eine dieser Ableitungen am kritischen Punkt ungleich Null ist, befindet sich dort ein Sattelpunkt, ansonsten lässt sich keine Aussage treffen.

Aufgaben:

logo

Wenn du qualitativ hochwertige Inhalte hast, die auf der Webseite fehlen tust du allen Kommilitonen einen Gefallen, wenn du diese mit uns teilst. So können wir gemeinsam die Plattform ein Stückchen besser machen. #SharingIsCaring

Nicht alle Fehler können vermieden werden. Wenn du einen entdeckst, etwas nicht reibungslos funktioniert oder du einen Vorschlag hast, erzähl uns davon. Wir sind auf deine Hilfe angewiesen und werden uns beeilen eine Lösung zu finden. Anregungen und positive Nachrichten freuen uns auch.