Partielle Ableitungen (Gradient)

Die Produktregel (auch Leibnizregel) findet Anwendung in der Differentialrechnung. Sie hilft dabei, die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen zu vereinfachen, indem sie diese auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückführt. Um die Produktregel richtig anzuwenden, kannst du wie folgt vorgehen:

Die Kettenregel ist eine der grundlegensten Regeln in der Differentialrechnung. Wie der Name schon verrät, trifft sie Aussagen über die Ableitung einer Funktion, die sich als Verkettung differenzierbarer Teilfunktionen darstellen lässt. Die Kettenregel sagt zum einen aus, dass eine solche Funktion selbst auch differenzierbar ist und dass man ihre Ableitung über das seperate Ableiten der verketteten Teilfunktionen erhält.

Partielle Ableitungen kannst du von Funktionen bilden, die von mehreren Veränderlichen abhängen. 

Notation
Wenn du die Funktion nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Wenn du die Funktion zweimal nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben: 

Man nennt das eine Ableitung 2. Ordnung. 
Wenn du erst nach und dann nach ableiten möchtest, kannst du das so schreiben:

Auch das ist eine Ableitung 2. Ordnung. Nach welchen Variablen abgeleitet wird, ist also für die Namensgebung egal.

Anwendungen der partiellen Ableitung:

• Extremwertberechnung in höheren Dimensionen
• Gradientenberechnung
• Talorreihen
• Ableitungen von impliziten Funktionen

Hier ein paar Beispiele:
Wir betrachten die Funktion :

Der Gradient ist ein Vektor, der in jedem Punkt in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Um ihn zu berechnen genügt es, alle partiellen Ableitungen zu bestimmen und den Punkt, den du untersuchen willst, einzusetzen. 

Der erste Eintrag entspricht der partiellen Ableitung von nach (schreibe auch: ), der zweite entspricht der partiellen Ableitung von nach (schreibe auch: ) und so weiter.

Jeder Eintrag des Gradientenvektors gibt dabei den Anstieg der Funktion in Richtung der Variablen an, nach der abgeleitet wurde.

Notation
Man schreibt für den Gradienten von einer Funktion:

Das Symbol nennt man den Nabla-Operator ( sprich Nabla-).

Das sieht erstmal kompliziert aus, ist aber in der Praxis ganz einfach:

Für bedeutet diese Definition die Existenz der Tangenten in - und -Richtung (an der Stelle .

gewöhnliche Ableitung nach (bei festem )

beziehungsweise:

gewöhnliche Ableitung nach (bei festem )

Der Satz von Schwarz (auch Young-Theorem genannt) wird wichtig, wenn es um partielle Ableitungen höherer Ordnung geht. Er sagt aus, dass bei Funktionen mehrerer Variablen, die mehrfach stetig differenzierbar sind, die Reihenfolge der Durchführung der einzelnen partiellen Ableitungen keinen Unterschied für das Ergebnis macht. 

Ganz mathematisch lautet der Satz so: 

Sei in einer Umgebung des Punktes stetig. Außerdem sollen die partiellen Ableitungen und in existieren und in stetig sein.

Der Satz von Schwarz besagt jetzt, dass unter diesen Bedingungen auch die partielle Ableitung in existiert und es gilt:

( und  sind hier einfach beliebige Variablen, von denen die Funktion abhängt.)

Beispielsweise gilt also für die Funktionen und

wenn die Bedingungen erfüllt sind. 

Bestimme den Gradienten der folgenden Funktion:

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Berechne für die Funktion:

die . partiellen Ableitungen von und den Gradienten.

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion:

Bilde die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion:

Bestimme die ersten partiellen Ableitungen der Funktion: