Hier lernst du nachzuweisen, ob ein gegebener Ausdruck immer durch eine bestimmte Zahl teilbar ist.

<p>Beweise per vollständiger Induktion, für welche $ n \in \mathbb{N} $ die folgende Aussage gilt:</p>
<p></p>
<p>$n^{3}+2 n$ ist durch $3$ teilbar.</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion, für welche <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1267-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1267-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1267-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1267-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1267-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1267-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> die folgende Aussage gilt:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n^{3}+2 n" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.525ex" height="2.071ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 3326 915.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1268-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1268-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-1268-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1268-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-1268-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1268-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1225.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-1268-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2226, 0)"><use xlink:href="#MJX-1268-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2726, 0)"><use xlink:href="#MJX-1268-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 500 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1269-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-1269-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> teilbar.</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle $ n \in \mathbb{N} $ gilt:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[7^{n}-2^{n}\]</p>
<p>ist durch $5$ teilbar.</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion, dass für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="7^{n}-2^{n}" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.323ex" height="1.827ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -725.5 3237 807.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path><path id="MJX-2-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use data-c="37" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-37"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1229.5,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2229.7,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>ist durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="5" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></mjx-container> teilbar.</p>

<p>Zeige mittels vollständiger Induktion:</p>
<p>$\forall n \in \mathbb{N}_0: 3 |10^n - 7^n</p>

<p>Zeige mittels vollständiger Induktion:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\forall n \in \mathbb{N}_0: 3 |10^n - 7^n" style="vertical-align: -0.564ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.103ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 8885.6 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-N-2200" d="M0 673Q0 684 7 689T20 694Q32 694 38 680T82 567L126 451H430L473 566Q483 593 494 622T512 668T519 685Q524 694 538 694Q556 692 556 674Q556 670 426 329T293 -15Q288 -22 278 -22T263 -15Q260 -11 131 328T0 673ZM414 410Q414 411 278 411T142 410L278 55L414 410Z"></path><path id="MJX-13-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 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<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle $ n \in \mathbb{N} $:</p>
<p></p>
<p>$n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}$ ist durch $9$ teilbar.</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6482-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6482-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-6482-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6482-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6482-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6482-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.657ex" height="2.451ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 10456.4 1083.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6483-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6483-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 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<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt:</p><p></p><p>$a_{n}=n^{3}+5 n$ ist immer durch 6 teilbar</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="n \in \mathbb{N}" style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-891-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-891-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-891-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-891-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-891-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p><p></p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a_{n}=n^{3}+5 n" style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.812ex" height="2.242ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 5662.8 991" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-892-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 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-82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-892-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(529, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1281, 0)"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2336.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(600, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3562.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4562.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5062.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist immer durch 6 teilbar</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle $ n \in \mathbb{N} $:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[7^{2 n}-2^{n}\]</p>
<p>ist durch $47$ teilbar</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.757ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2544.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-12-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-12-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-12-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-12-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-12-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="7^{2 n}-2^{n}" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.123ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 3590.5 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-13-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-13-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use data-c="37" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-37"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1583,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2583.3,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-13-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-13-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>ist durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="47" style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1000 699" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-37" d="M55 458Q56 460 72 567L88 674Q88 676 108 676H128V672Q128 662 143 655T195 646T364 644H485V605L417 512Q408 500 387 472T360 435T339 403T319 367T305 330T292 284T284 230T278 162T275 80Q275 66 275 52T274 28V19Q270 2 255 -10T221 -22Q210 -22 200 -19T179 0T168 40Q168 198 265 368Q285 400 349 489L395 552H302Q128 552 119 546Q113 543 108 522T98 479L95 458V455H55V458Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-34"></use><use data-c="37" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-37" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></mjx-container> teilbar</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle $ n \in \mathbb{N_0} $:</p>
<p></p>
<p>$n^{5}-n$ ist durch $5$ teilbar.</p>

<p>Beweise per vollständiger Induktion für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \in \mathbb{N_0} " style="vertical-align: -0.72ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.79ex" height="2.265ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 3443.1 1001.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6470-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6470-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-6470-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6470-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-6470-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6, 0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-6470-TEX-D-2115"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(722, -176.7) scale(0.707)"><text data-variant="double-struck" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" font-size="884px">𝟘</text></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>
<p></p>
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<p>Zeige mit vollständiger Induktion: $$ \forall n \in \mathbb{N}_0 : 3 | 4^n + 3n + 2</p>

<p>Zeige mit vollständiger Induktion: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt=" \forall n \in \mathbb{N}_0 : 3 | 4^n + 3n + 2" style="vertical-align: -0.564ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.079ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 10200.8 999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-20-TEX-N-2200" d="M0 673Q0 684 7 689T20 694Q32 694 38 680T82 567L126 451H430L473 566Q483 593 494 622T512 668T519 685Q524 694 538 694Q556 692 556 674Q556 670 426 329T293 -15Q288 -22 278 -22T263 -15Q260 -11 131 328T0 673ZM414 410Q414 411 278 411T142 410L278 55L414 410Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 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<p>Zeige mit vollständiger Induktion:</p>
<p>$$\forall n \in \mathbb{N}_{0}: 44  | 5^n + 7^{2n+5}$$</p>

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<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\forall n \in \mathbb{N}_{0}: 44  | 5^n + 7^{2n+5}" style="vertical-align: -0.564ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.948ex" height="2.564ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 10142.9 1133.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-N-2200" d="M0 673Q0 684 7 689T20 694Q32 694 38 680T82 567L126 451H430L473 566Q483 593 494 622T512 668T519 685Q524 694 538 694Q556 692 556 674Q556 670 426 329T293 -15Q288 -22 278 -22T263 -15Q260 -11 131 328T0 673ZM414 410Q414 411 278 411T142 410L278 55L414 410Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 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Teilbarkeit