Den Rang einer Matrix berechnen zu können bietet die Grundlage für die Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Darüber hinaus können mit ihm Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen getroffen werden.

<p>Bestimme den Rang der $2 \times 2$-Matrix:</p><p></p><p>\begin{align*}</p><p>A =\left(\begin{array}{ll}</p><p>0 &amp; 0 \\</p><p>0 &amp; 0</p><p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2 \times 2" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7396-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-7396-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7396-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-7396-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-7396-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix:</p><p></p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}A =\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.569ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 5555.6 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7397-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7397-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7397-TEX-S3-28" d="M701 -940Q701 -943 695 -949H664Q662 -947 636 -922T591 -879T537 -818T475 -737T412 -636T350 -511T295 -362T250 -186T221 17T209 251Q209 962 573 1361Q596 1386 616 1405T649 1437T664 1450H695Q701 1444 701 1441Q701 1436 681 1415T629 1356T557 1261T476 1118T400 927T340 675T308 359Q306 321 306 250Q306 -139 400 -430T690 -924Q701 -936 701 -940Z"></path><path id="MJX-7397-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-7397-TEX-S3-29" d="M34 1438Q34 1446 37 1448T50 1450H56H71Q73 1448 99 1423T144 1380T198 1319T260 1238T323 1137T385 1013T440 864T485 688T514 485T526 251Q526 134 519 53Q472 -519 162 -860Q139 -885 119 -904T86 -936T71 -949H56Q43 -949 39 -947T34 -937Q88 -883 140 -813Q428 -430 428 251Q428 453 402 628T338 922T245 1146T145 1309T46 1425Q44 1427 42 1429T39 1433T36 1436L34 1438Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-N-30"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2736, 0)"><use xlink:href="#MJX-7397-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme den Rang der $3 \times 3$-Matrix:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A = \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>3 &amp; -3 &amp; 6 \\</p>
<p>-2 &amp; 2 &amp; -4 \\</p>
<p>1 &amp; -1 &amp; 2</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3 \times 3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7365-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-7365-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7365-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-7365-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-7365-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A = \left(\begin{array}{ccc}
3 & -3 & 6 \\
-2 & 2 & -4 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -3.733ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.872ex" height="8.597ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2150 9667.6 3800" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7366-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-N-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 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54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-7366-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 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0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4945, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-36"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2667, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4556, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4945, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6709, 0)"><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-7366-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use 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<p>Bestimme den Rang der $2 \times 3$-Matrix:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A = \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>-3 &amp; 2 &amp; 1 \\</p>
<p>-4 &amp; 0 &amp; -2</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="2 \times 3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7382-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-7382-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path id="MJX-7382-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7382-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-7382-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-7382-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A = \left(\begin{array}{ccc}
-3 & 2 & 1 \\
-4 & 0 & -2
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.483ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 8611.6 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7383-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7383-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 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376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-7383-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-7383-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-7383-TEX-N-34" 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1433T36 1436L34 1438Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-34"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3778, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5792, 0)"><use xlink:href="#MJX-7383-TEX-S3-29"></use></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme den Rang der $4 \times 3$-Matrix:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A = \left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>3 &amp; 1 &amp; -2 \\</p>
<p>5 &amp; 0 &amp; 3 \\</p>
<p>-2 &amp; 1 &amp; 1 \\</p>
<p>4 &amp; 4 &amp; 4</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="4 \times 3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2222.4 699" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7353-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-7353-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path id="MJX-7353-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7353-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-7353-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-7353-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A = \left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -2 \\
5 & 0 & 3 \\
-2 & 1 & 1 \\
4 & 4 & 4
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.112ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 8889.6 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7354-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7354-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 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1143Z"></path><path id="MJX-7354-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-7354-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use 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transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-35"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4167, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7354-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2100)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g 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<p>Bestimme den Rang der $4 \times 5$-Matrix:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A = \left(\begin{array}{ccccc}</p>
<p>2 &amp; -2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 \\</p>
<p>-2 &amp; 4 &amp; -3 &amp; 5 &amp; 5 \\</p>
<p>1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 2 &amp; 3 \\</p>
<p>0 &amp; 2 &amp; 1 &amp; -3 &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="4 \times 5" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2222.4 699" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7372-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-7372-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path id="MJX-7372-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7372-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-7372-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-7372-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A = \left(\begin{array}{ccccc}
2 & -2 & 3 & 1 & 0 \\
-2 & 4 & -3 & 5 & 5 \\
1 & 1 & 2 & 2 & 3 \\
0 & 2 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.42ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 13445.6 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7373-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7373-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 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<p>Bestimme den Rang der $3 \times 3$-Matrix in Abhängigkeit von $a,b \in \mathbb{R}$:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A=\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>2 &amp; 0 &amp; -1 \\</p>
<p>2 x &amp; 1 &amp; -x \\</p>
<p>-1 &amp; x &amp; x</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3 \times 3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7423-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path 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<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
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617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-7425-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-7425-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-7425-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-7425-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 -9Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1027.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(2083.6, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-S4-239B" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-S4-239D" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-S4-239C" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(875, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1400)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2314, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3886, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(103, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2314, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3850, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1400)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2278, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(4239, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6075, 0)"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 996)"></use><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1006)"></use><svg width="875" height="382" y="59" x="0" viewBox="0 86.3 875 382"><use xlink:href="#MJX-7425-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 0.924)"></use></svg></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme den Rang der $4 \times 4$-Matrix:</p>
<p></p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A = \left(\begin{array}{cccc}</p>
<p>1 &amp; 2 &amp; -2 &amp; 0 \\</p>
<p>3 &amp; 2 &amp; 1 &amp; -1 \\</p>
<p>0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 2 \\</p>
<p>4 &amp; 4 &amp; -2 &amp; -3</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="4 \times 4" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2222.4 677" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7388-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-7388-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7388-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-7388-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-7388-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Matrix:</p>
<p></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
A = \left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -2 & 0 \\
3 & 2 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
4 & 4 & -2 & -3
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -5.317ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.506ex" height="11.765ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2850 10389.6 5200" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7389-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-S4-239B" d="M837 1154Q843 1148 843 1145Q843 1141 818 1106T753 1002T667 841T574 604T494 299Q417 -84 417 -609Q417 -641 416 -647T411 -654Q409 -655 366 -655Q299 -655 297 -654Q292 -652 292 -643T291 -583Q293 -400 304 -242T347 110T432 470T574 813T785 1136Q787 1139 790 1142T794 1147T796 1150T799 1152T802 1153T807 1154T813 1154H819H837Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-S4-239D" d="M843 -635Q843 -638 837 -644H820Q801 -644 800 -643Q792 -635 785 -626Q684 -503 605 -363T473 -75T385 216T330 518T302 809T291 1093Q291 1144 291 1153T296 1164Q298 1165 366 1165Q409 1165 411 1164Q415 1163 416 1157T417 1119Q417 529 517 109T833 -617Q843 -631 843 -635Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-S4-239C" d="M413 -9Q412 -9 407 -9T388 -10T354 -10Q300 -10 297 -9Q294 -8 293 -5Q291 5 291 127V300Q291 602 292 605L296 609Q298 610 366 610Q382 610 392 610T407 610T412 609Q416 609 416 592T417 473V127Q417 -9 413 -9Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 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83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-S4-239E" d="M31 1143Q31 1154 49 1154H59Q72 1154 75 1152T89 1136Q190 1013 269 873T401 585T489 294T544 -8T572 -299T583 -583Q583 -634 583 -643T577 -654Q575 -655 508 -655Q465 -655 463 -654Q459 -653 458 -647T457 -609Q457 -58 371 340T100 1037Q87 1059 61 1098T31 1143Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-S4-23A0" d="M56 -644H50Q31 -644 31 -635Q31 -632 37 -622Q69 -579 100 -527Q286 -228 371 170T457 1119Q457 1161 462 1164Q464 1165 520 1165Q575 1165 577 1164Q582 1162 582 1153T583 1093Q581 910 570 752T527 400T442 40T300 -303T89 -626Q78 -640 75 -642T61 -644H56Z"></path><path id="MJX-7389-TEX-S4-239F" d="M579 -9Q578 -9 573 -9T554 -10T520 -10Q466 -10 463 -9Q460 -8 459 -5Q457 5 457 127V300Q457 602 458 605L462 609Q464 610 532 610Q548 610 558 610T573 610T578 609Q582 609 582 592T583 473V127Q583 -9 579 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data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5667, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5278, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3389, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5667, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2100)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-34"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500, 0)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-34"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(3000, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5278, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778, 0)"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7431, 0)"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-S4-239E" transform="translate(0, 1696)"></use><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-S4-23A0" transform="translate(0, -1706)"></use><svg width="875" height="1782" y="-641" x="0" viewBox="0 402.4 875 1782"><use xlink:href="#MJX-7389-TEX-S4-239F" transform="scale(1, 4.311)"></use></svg></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Bestimme den Rang der $3 \times 3$-Matrix in Abhängigkeit von $a,b \in \mathbb{R}$:</p>
<p> </p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>A=\left(\begin{array}{ccc}</p>
<p>1 &amp; a &amp; a b^{2} \\</p>
<p>b &amp; 1 &amp; b^{2} \\</p>
<p>a^{2} b &amp; a^{2} &amp; 1</p>
<p>\end{array}\right)\end{align*}</p>

<p>Bestimme den Rang der <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="3 \times 3" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7402-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path 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<p> </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
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Rang

Rang einer Matrix ermitteln

<p>Der Rang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl unabhängiger Zeilen bzw. Spalten. Diese Anzahl ist bei einer Matrix stets identisch und daher gilt: $\operatorname{rang(A)} = \operatorname{rang(A^T)}$. Du kannst also auch ohne weiteres den Rang von $A^T$ untersuchen, falls dies zu einer einfacheren Rechnung führt.</p>


<p>Der Rang einer Matrix entspricht der maximalen Anzahl unabhängiger Zeilen bzw. Spalten. Diese Anzahl ist bei einer Matrix stets identisch und daher gilt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{rang(A)} = \operatorname{rang(A^T)}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.088ex" height="2.47ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 8879.1 1091.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1267-TEX-N-72" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T98 122T98 161T98 203Q98 234 98 269T98 328L97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 60 434T96 436Q112 437 131 438T160 441T171 442H174V373Q213 441 271 441H277Q322 441 343 419T364 373Q364 352 351 337T313 322Q288 322 276 338T263 372Q263 381 265 388T270 400T273 405Q271 407 250 401Q234 393 226 386Q179 341 179 207V154Q179 141 179 127T179 101T180 81T180 66V61Q181 59 183 57T188 54T193 51T200 49T207 48T216 47T225 47T235 46T245 46H276V0H267Q249 3 140 3Q37 3 28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-1267-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 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Du kannst also auch ohne weiteres den Rang von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A^T" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.011ex" height="1.904ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -841.7 1330.8 841.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1268-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-1268-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-1268-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(783,363) scale(0.707)"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-1268-TEX-I-1D447"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> untersuchen, falls dies zu einer einfacheren Rechnung führt.</p>


<div id=5f086c956fe8b38fd92bad58 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Rang berechnen</h2>
<ol>
<li>Bringe die Matrix (z.B. mittels Gauß-Algorithmus) auf Zeilenstufenform. Nutze die elementaren Zeilenumformungen:
<ul>
<li>Vertauschen von Zeilen</li>
<li>Multiplikation von Zeilen mit einem Faktor ungleich Null</li>
<li>Addition von einer Zeile mit einer anderen Zeile<br /><br /></li>
</ul>
</li>
<li>Zähle alle Zeilen die nicht vollständig aus Nullen bestehen. Diese Anzahl der Nicht-Nullzeilen entspricht deinem Rang.<br />$$\quad \Rightarrow \operatorname{rang(A)} = \ ...$$</li>
</ol>
</div></div>


<div id=5f086c956fe8b38fd92bad58 class="mceNonEditable extraContainerVorgehen"><div class="extraContainerVorgehenHeader mceNonEditable"><div class="icon-vorgehen"></div>Vorgehen</div><div class="theoryExtraContent mceEditable">
<h2 class="content_sub_heading">Rang berechnen</h2>
<ol>
<li>Bringe die Matrix (z.B. mittels Gauß-Algorithmus) auf Zeilenstufenform. Nutze die elementaren Zeilenumformungen:
<ul>
<li>Vertauschen von Zeilen</li>
<li>Multiplikation von Zeilen mit einem Faktor ungleich Null</li>
<li>Addition von einer Zeile mit einer anderen Zeile<br /><br /></li>
</ul>
</li>
<li>Zähle alle Zeilen die nicht vollständig aus Nullen bestehen. Diese Anzahl der Nicht-Nullzeilen entspricht deinem Rang.<br /><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad \Rightarrow \operatorname{rang(A)} = \ ..." style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.241ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8504.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1269-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path><path id="MJX-1269-TEX-N-72" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T98 122T98 161T98 203Q98 234 98 269T98 328L97 351Q94 370 83 376T38 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<div id=5f086d9e6fe8b38fd92baeab class="mceNonEditable extraContainerHinweis"><div class="extraContainerHinweisHeader mceNonEditable"><div class="icon-merke"></div>Hinweis</div><div class="theoryExtraContent mceEditable"><p>Merke: Der Rang einer Matrix kann nie größer sein als das Minimum aus der Anzahl an Zeilen bzw. Spalten. $\operatorname{rang}(A) \leq min(Zeilenanzahl, Spaltenanzahl)$. Erreicht der Rang diese Zahl, so besitzt die Matrix vollen Rang.</p>
</div></div>


<div id=5f086d9e6fe8b38fd92baeab class="mceNonEditable extraContainerHinweis"><div class="extraContainerHinweisHeader mceNonEditable"><div class="icon-merke"></div>Hinweis</div><div class="theoryExtraContent mceEditable"><p>Merke: Der Rang einer Matrix kann nie größer sein als das Minimum aus der Anzahl an Zeilen bzw. Spalten. <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{rang}(A) \leq min(Zeilenanzahl, Spaltenanzahl)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="45.586ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 20149.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1270-TEX-N-72" d="M36 46H50Q89 46 97 60V68Q97 77 97 91T98 122T98 161T98 203Q98 234 98 269T98 328L97 351Q94 370 83 376T38 385H20V408Q20 431 22 431L32 432Q42 433 60 434T96 436Q112 437 131 438T160 441T171 442H174V373Q213 441 271 441H277Q322 441 343 419T364 373Q364 352 351 337T313 322Q288 322 276 338T263 372Q263 381 265 388T270 400T273 405Q271 407 250 401Q234 393 226 386Q179 341 179 207V154Q179 141 179 127T179 101T180 81T180 66V61Q181 59 183 57T188 54T193 51T200 49T207 48T216 47T225 47T235 46T245 46H276V0H267Q249 3 140 3Q37 3 28 0H20V46H36Z"></path><path id="MJX-1270-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 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