Resultierende und Zerlegung von Kräften


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Theorie:

Zerlegung von Kräften in der Ebene und Komponentendarstellung

So wie wir Kräfte zusammensetzen können, können wir diese auch zerlegen. Wir können eine Kraft durch zwei Kräfte mit den vorgegebenen zentralen Wirkungslinien und ersetzen.

hier ein Beispiel (Abb.2.5a) 

Dazu zeichnen wir das Kräftedreieck, indem wir an den Anfangs-  und den Endpunkt von jeweils eine der vorgegebenen Richtungen bzw. Wirkungslinien legen. Das Kräftedreieck, darstellbar in zwei unterschiedlichen Varianten (siehe Abb. 2.5b), liefert uns die geometrischen Gegebenheiten, d.h. die Beträge und die Richtungen der gesuchten Kräfte.
Die Kraft setzt sich also aus den Komponenten und mit den Richtungen und . Daraus folgt also, dass die Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen in der Ebene eindeutig möglich ist. Die Zerlegung einer Kraft in mehr als zwei Richtungen ist dagegen nicht eindeutig möglich. Dabei existieren beliebig viele unterschiedliche Zerlegungsmöglichkeiten.

In vielen Problemfällen ist es sinnvoll, die Kräfte in ihre kartesischen Komponenten zu zerlegen. Die - und die -Achse legen dann die Richtungen der Komponenten fest. Die Komponenten können wir mit den Einheitsvektoren

und ausgedrücken als:

 
Definition

Kraftkomponenten in - und - Richtung

sodass für folgt:


und sind darin die Koordinaten des Vektors . An dieser Stelle sei erwähnt, dass und unpräziserweise als Komponenten von bezeichnet werden.


Zudem sei hier angemerkt, dass es bei Fällen, in denen die Vektoreigenschaft der Kräfte eindeutig ist, üblich ist das Pfeilbild nur noch mit Beträgen oder Koordinaten zu versehen.

hier ein Beispiel

Zum Bestimmen der Resultierenden einer zentralen Kräftegruppe in der Ebene kann die Vektoraddition mit den Komponenten der Kräfte an Stelle der Kräfte durchgeführt werden.


hier ein Beispiel

Aus Abb.\ref{Abb. 2.6 Gross} kann abgelesen werden, dass

 
Vorgehen

Bestimmung des Betrags und der Richtung eines Kraftvekors in der Ebene

Für Kräfte erhalten wir für den allgemeinen Fall aus folgender Gleichung

 
Formel

Resultierende in der Ebene

 
Hinweis
Du kannst das Koordinatensystem beliebig wählen, jedoch kannst du dir viele Rechnungen sparen, wenn du es zweckmäßig wählst.

Daraus können wir wie im obigen Vorgehen (Bestimmung des Betrags und der Richtung eines Kraftvektors in einer Ebene) den Betrag und die Richtung der Resultierende berechnen:

Aufgaben:

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