Satz von Gauß

Aufgaben:

Aufgabe 1

Gegeben ist ein Würfel mit:

 

 

In ihm herrscht das Strömungsfeld

 

Berechne den Fluss des Feldes durch die gesamte Oberfläche des Würfels. Begründe dabei kurz, warum der Satz von Gauß hier sinnvoll ist und nutze ihn anschließend.

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Zylinder mit der Höhe und dem Radius (siehe Abbildung).

 

Berechne den Fluss nach außen durch die Oberfläche des Zylinders, der sich aufgrund des Vektorfeldes einstellt.

Zylinder mit Koordinatensystem im Ursprung und angezeichnetem Radius r und der Höhe h

 

Nutze den Satz von Gauß.

Aufgabe 3

Gegeben ist ein Kegel : und das Vektorfeld

 

Berechne den Gesamtfluss von durch die Kegeloberfläche : , indem du den Satz von Gauß verwendest.

 

Hinweis: Die Normale ist nach außen gerichtet.

Aufgabe 4

Gegeben ist das Vektorfeld und der Abschnitt eines Paraboloids.

 

Berechne den Fluss des Vektorfeldes durch den Rand des Paraboloidstücks nach außen. Nutze dabei:

  1. eine direkte Berechnung
  2. den Satz von Gauß
Aufgabe 5

Gegeben ist der rechts abgebildete elliptische Halbkegelstumpf , welcher durch alle gegeben ist, die folgende Bedingungen erfüllen:

 

 

Weiter besteht der orientierte Rand aus dem Mantel , dem Boden und dem Vertikaldreieck .

Elliptischer Halbkegelstumpf in einem dreidimensionalen Koordinatensystem

 

Berechne: 

  1. Die Divergenz des Vektorfeldes mit
  2. Die nach außen weisenden Normalenvektoren von und von .
  3. Die Flussintegrale und
  4. Den Fluss des Feldes durch den Mantel mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß und der Ergebnisse aus 3.

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