Hyperbel und Areafunktionen

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    Aufgabe 1

    Abbildung

    Die im Bild skizzierte Überlandleitung wird zwischen zwei aufeinander folgenden Strommasten durch die Kettenlinie mit beschrieben:

     

    Berechnen Sie die Höhe der Strommasten sowie den Durchhang in der Mitte der Leitung.

    Aufgabe 2

    Zeigen Sie: Für jedes reelle gilt (,,hyperbolischer Pythagoras"):

    Aufgabe 3

    Beweisen Sie das sogenannte Additionstheorem für den Sinus hyperbolicus:

    Aufgabe 4

    Beweisen Sie die Formel

    Aufgabe 5

    Lösen Sie die folgende Gleichung unter Verwendung der Definitionsformeln der Hyperbelfunktionen.

    Aufgabe 6

    Zeige: Die Funktion

    ist die Umkehrfunktion von .

    Aufgabe 7

    Die Hyperbelfunktion setzt sich definitionsgemäß aus Exponentialfunktionen wie folgt zusammen:

    Zeigen Sie, dass sich ihre Umkehrfunktion durch eine logarithmische Funktion darstellen lässt.

    Aufgabe 8

    Berücksichtigt man beim freien Fall den Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit proportionale Reibungskraft , so ergeben sich für Fallweg und Fallgeschwindigkeit die folgenden (komplizierten) Zeitgesetze:

    Masse; Erdbeschleunigung; Reibungsfaktor;

    1. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fallgeschwindigkeit und dem Fallweg ?
    2. Welche Endgeschwindigkeit wird erreicht?
    3. Welche Strecke muss der Körper fallen, um die halbe Endgeschwindigkeit zu erreichen?
      Wie lange ist er dann bereits unterwegs?

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