<img style="float: right; width: 52%; height: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/615d809ff70f4e6b0b5bc1d9.png" alt="Abbildung" width="365" height="232" />
Die im Bild skizzierte Überlandleitung wird zwischen zwei aufeinander folgenden Strommasten durch die Kettenlinie mit \( -150 \leq x / \mathrm{m} \leq 150 \) beschrieben:
\( y(x)=1000 \mathrm{~m} \cdot \cosh \left(0,001 \mathrm{~m}^{-1} \cdot x\right)-980 \mathrm{~m} \)
 
Berechnen Sie die Höhe der Strommasten sowie den Durchhang \( H \) in der Mitte der Leitung.

Zeigen Sie: Für jedes reelle \( x \) gilt (,,hyperbolischer Pythagoras"):
\[ \quad \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x=1 \quad \]

Zeigen Sie: Für jedes reelle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-155-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-155-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt (,,hyperbolischer Pythagoras"):
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt=" \quad \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x=1 \quad " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.078ex" height="2.204ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -892 11084.4 974" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-156-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-156-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 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Beweisen Sie das sogenannte Additionstheorem für den Sinus hyperbolicus:
\[ \quad \sinh (x+y)=\sinh x \cdot \cosh y+\cosh x \cdot \sinh y \]

Beweisen Sie das sogenannte Additionstheorem für den Sinus hyperbolicus:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\quad \sinh (x+y)=\sinh x \cdot \cosh y+\cosh x \cdot \sinh y
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Beweisen Sie die Formel
\[ \quad \cosh ^{2} x=\frac{1}{2}[\cosh (2 x)+1] \]

Beweisen Sie die Formel
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt=" \quad \cosh ^{2} x=\frac{1}{2}[\cosh (2 x)+1] " style="vertical-align: -1.552ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.976ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 12365.2 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-187-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-187-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 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Lösen Sie die folgende Gleichung unter Verwendung der Definitionsformeln der Hyperbelfunktionen.
\[\quad 2 \cdot \cosh (2 x)+3 \cdot \sinh (2 x)=3\]

Lösen Sie die folgende Gleichung unter Verwendung der Definitionsformeln der Hyperbelfunktionen.
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad 2 \cdot \cosh (2 x)+3 \cdot \sinh (2 x)=3" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.4ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 13878.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-192-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-192-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-192-TEX-N-63" 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Zeige: Die Funktion
\[ \quad y=\frac{1}{2} \cdot \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right), \quad|x| &lt; 1 \] ist die Umkehrfunktion von \( y=\tanh x \).

Zeige: Die Funktion
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt=" \quad y=\frac{1}{2} \cdot \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right), \quad|x| < 1 " style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.899ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 14099.3 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-274-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 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<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" y=\tanh x " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.324ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 4563.2 899" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-275-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 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Berücksichtigt man beim freien Fall den Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit \( v \) proportionale Reibungskraft \( R=k v^{2} \), so ergeben sich für Fallweg \( s \) und Fallgeschwindigkeit \( v \) die folgenden (komplizierten) Zeitgesetze:
\(s(t)=\frac{m}{k} \cdot \ln [\cosh (\alpha t)], \quad v(t)=\sqrt{\frac{m g}{k}} \cdot \tanh (\alpha t), \quad t \geq 0 \]
\(m: \) Masse; \( g: \) Erdbeschleunigung; \( k &gt; 0: \) Reibungsfaktor; \( \quad \alpha=\sqrt{g k / m}\)
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fallgeschwindigkeit \( v \) und dem Fallweg \( s ? \)</li>
<li>Welche Endgeschwindigkeit \( v_{E} \) wird erreicht?</li>
<li>Welche Strecke muss der Körper fallen, um die halbe Endgeschwindigkeit zu erreichen? Wie lange ist er dann bereits unterwegs?</li>
</ol>

Die Hyperbelfunktion \( y=\sinh x \) setzt sich definitionsgemäß aus Exponentialfunktionen wie folgt zusammen:
\[ \quad y=\sinh x=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right), \quad-\infty &lt; x &lt; \infty \]
Zeigen Sie, dass sich ihre Umkehrfunktion \( y=\operatorname{arsinh} x \) durch eine logarithmische Funktion darstellen lässt.

Hyperbel und Areafunktionen

Eindimensionale Analysis

Kompakt oder nicht?

Beweisaufgabe

Vektorbündel

Elektrotechnik

Gleichstrom

Chien, Hrones, Reswick

Lyapunov-Stabilität

Grundlagen

Wahr/Falsch

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

(Lokal) Kompakte Räume

Beobachtbarkeit

Steuerbarkeit

Mannigfaltigkeiten

Nyquist-Kriterium

Elektrische Feldgrößen 

Fundamentalgruppen

Erzwungene Schwingungen

MIMO-System

(Weg)zusammenhängende Räume

Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen

Reibung (Gleitreibung)

Sensitivität

Serlo 

Kirchhoffschen Gesetze

Metrische Räume

Sprungfunktion

reelle Zahlen

Wärmetransport – Temperaturstrahlung

Quicksort

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Sortieralgorithmen

Ideales Gas

Algorithmen

Wärmeenergie 

Informatik

Thermodynamik und Wärme (Kurzweil)

Satz von Green

Kinetische Theorie

Satz von Stokes

Schwingung

Satz von Gauß

Laplace-Transformation

Supremum und Infimum

Elastostatik, Festigkeitslehre

Mehrfachintegrale berechnen

Grundarten der Belastung

Uneigentliches Supremum und Infimum 

Zug und Druck

Folgen

Zustandsänderungen 

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale

Kinetik, Kinematik

LR-Zerlegung

Wellen

Konvergenz und Divergenz

Schwingungen

Grundlagen der Wellenausbreitung

Rotation um eine feste Achse

(Matrix-) Normen berechnen

Quantenoptik

Gedämpfte Schwingungen

Kinematik des Punktes

Häufungspunkte und Cauchy-Folgen

Eindimensionale Bewegung

Reihen

Wellenoptik

Kriterien für Konvergenz von Reihen 

 Radio- und Fotometrie

Stetigkeit von Funktionen

Geometrische Optik

Kernumwandlung

Ableitung

Kurzweil Schwingungen

Molekülspektren

Linearität einer Abbildung prüfen

Röntgenstrahlung

Implizite Funktionen

Bewegungsgleichung

Integrale

Systematik des Atombaus

Kurzweil Wellen

Bahn- und Spinmagnetismus

Geometrische Optik (Kurzweil)

Quantentheorie

Bohr’sches Atommodell

Optische Instrumente

Grundlagen der ebenen Kinematik

Schwerpunkte paralleler angreifender Kräfte

Wärmeübertragung

Energieerhaltung für geschlossene Systeme

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Hyperbel und Areafunktionen

Hyperbel und Areafunktionen | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie