Komplexe Gleichungen

Theorie:

Komplexe Gleichungen lösen

Ziel ist es die komplexen Zahlen zu finden, welche die gegebene Gleichung lösen. Kurz: alle passenden Kombinationen von , (kartesisch) oder , (polar).

Unterscheide das Lösungsverfahren nach Art der vorliegenden Gleichung:

 
Vorgehen

Lineare komplexe Gleichungen (n=1) lösen

Ist die höchste Potenz (), löse direkt nach auf, falls möglich. Falls nicht tue alternativ folgendes:

  1. Ersetze jedes durch und jedes

  2. Berechne Werte für und .
    Es kann helfen den entstandenen Ausdruck nach Termen ohne "i" (Realteil) und mit (Imaginärteil) zu trennen. Anschließend kannst du jeweils eine Bedingung für den Real- und Imaginärteil aufschreiben, woraus du 2 Gleichungen erhälst.
 
Vorgehen

Quadratische komplexe Gleichung (n=2):

  1. Bringe die Gleichung auf die Form

  2. Nutze die -Formel:
 
Vorgehen

Kubische komplexe Gleichung (n=3):

  1. Rate eine (reelle) Nullstelle.
  2. Führe eine Polynomdivision mit der gefundenen Nullstelle durch.
  3. Löse das Restpolynom mittels -Formel (siehe quadratische Gleichung).

Hinweis: Wenn ein Polynom mit vorliegt, musst du ggf. mehrere Polynomdivisionen durchführen, bis eine quadratische Gleichung vorliegt.

 
Vorgehen

Biquadratische Gleichung (n=2,4,6...)

Biquadratische Gleichung ():

  1. Substituiere:

  2. Löse die neu entstandenen Gleichung mittels -Formel.


  3. Resubstituiere, um die 4 Lösungen für zu erhalten:

Aufgaben:

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung:

Aufgabe 2

Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung:

Aufgabe 3

Welche komplexe Zahl erfüllt die Gleichung

Aufgabe 4

Bestimme alle Lösungen der Gleichung:

Nutze die Lösung für die Berechnung.

Aufgabe 5

Berechne für folgende Gleichung:

Forme anschließend dein Ergebnis in die exponentielle Polarform um.

Aufgabe 6

Bestimme alle Lösungen der Gleichung:

Gib die Lösungen in kartesischer Darstellung an.

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