Gegeben ist die Oberfläche $\mathcal{F}$ einer Einheitskugel mit $$\mathcal{F}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$$ Berechne nun das Oberflächenintegral $\iint_{\mathcal{F}} f(x, y, z) d F$ mit: $$f(x, y, z):=a, \quad a \in \mathbb{R}, a=\text{const.}$$

Gegeben ist ein im Ursprung der $xy$-Ebene stehender Zylinder $Z$, mit dem Radius $R&gt;0$ und der Höhe $h&gt;0$.<ol><li>Beschreibe den Zylindermantel von $Z$ durch Wahl geeigneter Koordinaten.</li><li>Berechne den Fluss, der aufgrund des Vektorfeldes $v$, von innen nach außen durch die Mantelfläche entsteht. \begin{align*}\boldsymbol{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(x, y, z)^{T} \mapsto(x z+y, y z-x, z)^{T}\end{align*}</li></ol>

Gegeben ist die Oberfläche $\mathcal{F}$ einer Halbkugelfläche mit
 
$$\mathcal{F}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \ z&gt;0 \right\}$$
 
Berechne nun das Oberflächenintegral $\iint_{\mathcal{F}} f(x, y, z) d F$ mit:
 
$$f(x, y, z):=x^{2} y^{2} z$$
 
Hinweis: $\sin ^{2} \gamma=\frac{1-\cos 2 \gamma}{2}$

Gegeben sei $V(x)=f(r) \cdot(x, y, z)^{T},$ mit $f(r)$ als eine beliebige Funktion von $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.$
 
Berechne $\int_{K} V(x) \cdot d o,$ mit $K=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\right\} .$
 
Die Oberfläche $K$ soll dabei so orientiert sein dass der Normalenvektor vom Ursprung weg zeigt.

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<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
Gegeben ist ein Kreiskegel $K$ der Höhe $h$ (siehe Skizze) und ein Vektorfeld $v(x, y, z)=\left(2 x z, 2 y z, 2 x y+z^{2}\right)^{T}$. Berechne:
<ol>
<li class="horizontalLayoutText">Den Fluss $I(M)=\int_{M} v \cdot d o$ des Vektorfeldes $v$ durch den Mantel $M$. Die Normale $N_{M}$ ist dabei nach außen gerichtet ist. </li>
<li class="horizontalLayoutText">Den Fluss $I(D)=\int_{D} v \cdot d o$ durch den Deckel $D,$ wobei die Normale $N_{D}$ nach oben gerichtet sei.</li>
</ol>
</div>
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<img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5f1812c103d99e006479df65.png" alt="Skizze eines im Ursprung aufgestellten Kreiskegels mit einer höhe h" width="100%" />
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</div>
Für den Mantel $M$ bietet sich die Darstellung $\Phi(r, \varphi)=\left(r \cos \varphi, r \sin \varphi, \frac{h}{R} r\right)^{T}$ mit den Zylinderkoorinaten $r, \varphi$ an.

Oberflächenintegrale und Fluss

Eindimensionale Analysis

Funktionen (mehrdimensionale)

Stetigkeit (mehrdimensional)

Resultierende und Zerlegung von Kräften

Bode-Diagramm

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Physikalische Grundlagen der Wellenausbreitung

Resultierende Kräfte und Momente ermitteln

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Physik

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Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

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Interferenz und Beugung

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Statische und kinematische Bestimmtheit (Fachwerke)

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Funktionen

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Vektorrechnung

Oszillatormodell und Brechung

Epsilon-Delta Kriterium

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Eine der wichtigsten Grundlagen bei der Rechnung mit Matrizen besteht in der Anwendung von Grundoperationen (Addition und Multiplikation). Wann diese Operationen möglich sind und wie du sie durchführst lernst du hier.

Addition und Multiplikation

(Lokal) Kompakte Räume

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe zur Matrizenrechnung eingeführt und Grundrechentechniken vermittelt..

Matrizenrechnung - Grundlagen

Regel von Sarrus (3x3)

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegrale und Fluss | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theor