<p>Gegeben ist die Oberfläche $\mathcal{F}$ einer Einheitskugel mit</p><p> </p><p>$$\mathcal{F}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$$</p><p> </p><p>Berechne nun das Oberflächenintegral $\iint_{\mathcal{F}} f(x, y, z) d F$ mit:</p><p> </p><p>$$f(x, y, z):=a, \quad a \in \mathbb{R}, a=\text{const.}$$</p>

<p>Gegeben ist ein im Ursprung der $xy$-Ebene stehender Zylinder $Z$, mit dem Radius $R&gt;0$ und der Höhe $h&gt;0$.</p><ol><li>Beschreibe den Zylindermantel von $Z$ durch Wahl geeigneter Koordinaten.</li><li>Berechne den Fluss, der aufgrund des Vektorfeldes $v$, von innen nach außen durch die Mantelfläche entsteht.<br /><br />\begin{align*}\boldsymbol{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(x, y, z)^{T} \mapsto(x z+y, y z-x, z)^{T}\end{align*}</li></ol>

<p>Gegeben ist die Oberfläche $\mathcal{F}$ einer Halbkugelfläche mit</p>
<p> </p>
<p>$$\mathcal{F}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \ z&gt;0 \right\}$$</p>
<p> </p>
<p>Berechne nun das Oberflächenintegral $\iint_{\mathcal{F}} f(x, y, z) d F$ mit:</p>
<p> </p>
<p>$$f(x, y, z):=x^{2} y^{2} z$$</p>
<p> </p>
<p>Hinweis: $\sin ^{2} \gamma=\frac{1-\cos 2 \gamma}{2}$</p>

<p>Gegeben sei $V(x)=f(r) \cdot(x, y, z)^{T},$ mit $f(r)$ als eine beliebige Funktion von $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.$</p>
<p> </p>
<p>Berechne $\int_{K} V(x) \cdot d o,$ mit $K=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\right\} .$</p>
<p> </p>
<p>Die Oberfläche $K$ soll dabei so orientiert sein dass der Normalenvektor vom Ursprung weg zeigt.</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 2;">
<p class="horizontalLayoutText">Gegeben ist ein Kreiskegel $K$ der Höhe $h$ (siehe Skizze) und ein Vektorfeld $v(x, y, z)=\left(2 x z, 2 y z, 2 x y+z^{2}\right)^{T}$. <br />Berechne:</p>
<ol>
<li class="horizontalLayoutText">Den Fluss $I(M)=\int_{M} v \cdot d o$ des Vektorfeldes $v$ durch den Mantel $M$. <br />Die Normale $N_{M}$ ist dabei nach außen gerichtet ist.<br /><br /></li>
<li class="horizontalLayoutText">Den Fluss $I(D)=\int_{D} v \cdot d o$ durch den Deckel $D,$ wobei die Normale $N_{D}$ nach oben gerichtet sei.</li>
</ol>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/5f1812c103d99e006479df65.png" alt="Skizze eines im Ursprung aufgestellten Kreiskegels mit einer höhe h" width="100%" /></p>
</div>
</div>
<p>Für den Mantel $M$ bietet sich die Darstellung $\Phi(r, \varphi)=\left(r \cos \varphi, r \sin \varphi, \frac{h}{R} r\right)^{T}$ mit den Zylinderkoorinaten $r, \varphi$ an.</p>

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

<p>Ein Oberflächenintegral 1. Art hat im allgemeinen die Form: \[\iint\limits_F f\ \text{d} o\] Hierbei ist $f$ die dichtefunktion, $F$ ist dabei eine Teilmenge eines Euklidischen Raumes, $F\subset\mathbb{R}^n$.</p>
<p>Dass $\text{d}o$ beschreibt hier, dass mann die Oberfläche in winzige quadrate aufteilt.</p>
<p>Fürs erste findet man eine Parametrisierung der Oberfläche, hier gennant $O(x,y)$, </p>


<p>Ein Oberflächenintegral 1. Art hat im allgemeinen die Form: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\iint\limits_F f\ \text{d} o" style="vertical-align: -3.64ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.873ex" height="6.719ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 3479.7 2969.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-967-TEX-LO-222C" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798ZM642 -798Q660 -824 693 -824H695Q723 -824 751 -764T803 -600T848 -391T890 -164Q893 -143 895 -133Q967 292 1051 655T1173 1127Q1179 1145 1183 1157T1200 1201T1227 1257T1261 1306T1305 1346T1356 1360Q1412 1360 1440 1325T1472 1245Q1472 1220 1460 1205T1437 1186T1415 1183Q1394 1183 1377 1198T1360 1239Q1360 1287 1413 1296L1410 1300Q1407 1303 1402 1307T1394 1313Q1379 1323 1361 1323Q1347 1323 1335 1311T1303 1255T1264 1139T1217 936T1161 628Q1102 293 1038 -5T938 -437T883 -629Q806 -862 693 -862Q653 -862 620 -831T583 -746Q583 -711 602 -698T640 -685Q661 -685 678 -700T695 -741Q695 -789 642 -798Z"></path><path id="MJX-967-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-967-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-967-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-967-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-967-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="munder"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 1)"><use data-c="222C" xlink:href="#MJX-967-TEX-LO-222C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(180.2,-1508.8) scale(0.707)"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-967-TEX-I-1D439"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1638.7,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-967-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(2188.7,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-967-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(2438.7,0)"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-967-TEX-N-64"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2994.7,0)"><use data-c="1D45C" xlink:href="#MJX-967-TEX-I-1D45C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Hierbei ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="f" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910" 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<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.695ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 749 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-969-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 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444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D439" xlink:href="#MJX-970-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1026.8,0)"><use data-c="2282" xlink:href="#MJX-970-TEX-N-2282"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2082.6,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-970-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(755,363) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-970-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>
<p>Dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\text{d}o" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.355ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1041 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-971-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-971-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtext"><use data-c="64" xlink:href="#MJX-971-TEX-N-64"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(556,0)"><use data-c="1D45C" xlink:href="#MJX-971-TEX-I-1D45C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> beschreibt hier, dass mann die Oberfläche in winzige quadrate aufteilt.</p>
<p>Fürs erste findet man eine Parametrisierung der Oberfläche, hier gennant <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="O(x,y)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.895ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3047.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-972-TEX-I-1D442" d="M740 435Q740 320 676 213T511 42T304 -22Q207 -22 138 35T51 201Q50 209 50 244Q50 346 98 438T227 601Q351 704 476 704Q514 704 524 703Q621 689 680 617T740 435ZM637 476Q637 565 591 615T476 665Q396 665 322 605Q242 542 200 428T157 216Q157 126 200 73T314 19Q404 19 485 98T608 313Q637 408 637 476Z"></path><path id="MJX-972-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-972-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-972-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-972-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-972-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D442" xlink:href="#MJX-972-TEX-I-1D442"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(763,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-972-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1152,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-972-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1724,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-972-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2168.7,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-972-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2658.7,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-972-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, </p>


<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6208fc02b7e45e5ae3d1ec00.jpeg" alt="Abbildung" /></p>
<p>Da dieses Quadrat infinitesimal klein ist, kann man die Krümmung durch die Oberfläche vernachlässigen. Die Vektoren die das Quadrat aufspannen: $\overrightarrow{O(x,y)O(x+\text{d}x,y)}=O(x+\text{d}x,y)-O(x,y)=\frac{O(x+\text{d}x,y)-O(x,y)}{\text{d}x}\cdot \text{d}x=O_x\cdot\text{d}x$ . Für die andere Seite funktioniert dies analog. Den Flächeninhalt dieses Quadrates kann man nun mit Mitteln der Analytische Geometrie, der Euklidischen 2-Norm des Vektorprodukts: $\mid\mid (O_x\cdot \text{d}x)\times(O_y\cdot\text{d}y)\mid\mid_2=\mid\mid O_x\times O_y\mid\mid_2 \text{d}x\text{d}y$ . Die $x$ und $y$ Grenzen erhält man aus der Parametrisierung.<br />\[\iint\limits_F f\ \text{d}o=\iint \Big(f\circ O\Big)(x,y)\cdot\mid\mid O_x\times O_y\mid\mid_2 \text{d}x\text{d}y</p>

Eindimensionale Analysis

Beweisaufgabe

Vektorbündel

Produkt- und Quotientenräume

Kompakt oder nicht?

Gleichstrom

reelle Zahlen

Serlo 

Grundlagen

Ladung, Strom, Stromdichte, Spannung

Chien, Hrones, Reswick

Wahr/Falsch

Lyapunov-Stabilität

(Lokal) Kompakte Räume

Beobachtbarkeit

Elektrische Feldgrößen 

Mannigfaltigkeiten

Steuerbarkeit

Nyquist-Kriterium

Fundamentalgruppen

Erzwungene Schwingungen

MIMO-System

(Weg)zusammenhängende Räume

Kirchhoffschen Gesetze

Reibung (Gleitreibung)

Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen

Supremum und Infimum

Sensitivität

Metrische Räume

Reihenschaltung, Parallelschaltung

Uneigentliches Supremum und Infimum 

Sprungfunktion

Quicksort

Wärmetransport – Temperaturstrahlung

Sortieralgorithmen

Ideales Gas

Algorithmen

Wärmeenergie 

Informatik

Thermodynamik und Wärme (Kurzweil)

Satz von Green

Kinetische Theorie

Satz von Stokes

Elastostatik, Festigkeitslehre

Satz von Gauß

Grundarten der Belastung

Folgen

Zug und Druck

Mehrfachintegrale berechnen

Schwingung

Konvergenz und Divergenz

Kinetik, Kinematik

Grundlagen der Wellenausbreitung

Laplace-Transformation

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale

Zustandsänderungen 

LR-Zerlegung

Rotation um eine feste Achse

Gedämpfte Schwingungen

Wellen

Häufungspunkte und Cauchy-Folgen

Kinematik des Punktes

(Matrix-) Normen berechnen

Eindimensionale Bewegung

Reihen

Schwingungen

Kriterien für Konvergenz von Reihen 

Quantenoptik

Stetigkeit von Funktionen

Wellenoptik

Ableitung

 Radio- und Fotometrie

Kurzweil Schwingungen

Geometrische Optik

Integrale

Kernumwandlung

Kurzweil Wellen

Bewegungsgleichung

Linearität einer Abbildung prüfen

Molekülspektren

Implizite Funktionen

Röntgenstrahlung

Geometrische Optik (Kurzweil)

Systematik des Atombaus

Bahn- und Spinmagnetismus

Optische Instrumente

Grundlagen der ebenen Kinematik

Energieerhaltung für geschlossene Systeme

Quantentheorie

Bilanzen offener Systeme

Bohr’sches Atommodell

Schwerpunkte paralleler angreifender Kräfte

Wärmeübertragung

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegrale und Fluss | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theor