Stabilität

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Lyapunov-Stabilität

Aufgaben:

Aufgabe 1

Ein System liegt in Zustandsraumdarstellung vor:

mit

  1. Zeigen Sie, dass das System stabil ist.
  2. Für das Eingangssignal gilt nun: .
    Welcher statische Endwert stellt sich am Ausgang ein?

Hinweis:

Aufgabe 2

Gegeben sind die beiden linearen zeitkontinuierlichen Systeme

und

  1. Berechnen Sie die zugehörigen Übertragungsfunktionen und .
  2. Analysieren Sie die Eingangs-Ausgangs-Stabilität sowie die Sprungfähigkeit der beiden Übertragungsfunktionen. Vergleichen Sie die Eingangs-Ausgangs-Stabilität mit der asymptotischen Stabilität der obigen Systeme für bzw. .
Aufgabe 3

Betrachtet wird die in der Abbildung gezeigte Kaffeemaschine, bestehend aus Kaffeefilter und Kaffeekanne.

Die zugehörige Dynamik lässt sich vereinfacht durch

beschreiben , wobei folgende Notation verwendet wurde:

Füllstandhöhe des Kaffeefilters
Füllstandhöhe der Kaffeekanne
Massenstrom des einfliessenden Wassers
Dichte von Wasser und Kaffee
Kaffeedurchsatzparameter
Grundfläche des Filters
Grundfläche der Kanne
Masse des eingefüllten Kaffeepulvers 

Abbildung

 Unter den Annahmen, die Dichte von Wasser und Kaffee sei identisch, Filter und Kanne zylindrische Körper und der Massenstrom des gefilterten Kaffees umgekehrt proportional zur Masse des eingefüllten Kaffeepulvers: , wobei

 

  1. Zeigen Sie mathematisch, dass das System nicht asymptotisch stabil ist. Was müsste nach erfolgreichem Lauf der Maschine mit dem Füllstand der Kanne passieren, wenn das System asymptotisch stabil wäre (ohne mathematische Begründung)?
  2. Angenommen, der Füllstand der Kaffeekanne wird kontinuierlich gemessen. Ausserdem ist das Eingangssignal (der zugeführte Wasserstrom) bekannt. Kann damit auf den Füllstand des Kaffeefilters geschlossen werden (mathematische Begründung)?
  3. Bei einer realen Kaffeemaschine kann eine volle Kaffeekanne allein durch Beeinflussung des zugeführten Wasserstroms nicht mehr geleert werden. Ihr Kollege behauptet nun, nach den Ergebnissen seiner Systemanalyse müsste dies jedoch möglich sein. Wie ist er vermutlich vorgegangen? Hat er sich verrechnet? Falls nicht: entdecken Sie bei ihm einen Denkfehler?
Aufgabe 4

Gegeben ist das folgende lineare und dimensionslose Zustandsraummodell:

mit

Hinweis: Alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar.

 

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte des linearen Systems. Ist das System stabil?
b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion in der Form

Das Zustandsraummodell ist eine linearisierte Form des FitzHugh-Nagumo Modells, mit dem die nichtlineare Dynamik des Membranpotentials einer Nervenzelle beschrieben werden kann ( Membranpotential Erholungsvariable, Anregungsstromstärke):

und sind konstant.

 

c) Wie lauten die Parameter und und der Arbeitspunkt für , für die das gegebene Zustandsraummodell mit dem Zustandsvektor gültig ist?

Hinweis:

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