Bildungsunterstützer

Stabilität

Wähle ein Thema:

Aufgaben:

Aufgabe 3

Betrachtet wird die in der Abbildung gezeigte Kaffeemaschine, bestehend aus Kaffeefilter und Kaffeekanne.

Die zugehörige Dynamik lässt sich vereinfacht durch

beschreiben , wobei folgende Notation verwendet wurde:

Füllstandhöhe des Kaffeefilters
Füllstandhöhe der Kaffeekanne
Massenstrom des einfliessenden Wassers
Dichte von Wasser und Kaffee
Kaffeedurchsatzparameter
Grundfläche des Filters
Grundfläche der Kanne
Masse des eingefüllten Kaffeepulvers 

Abbildung

 Unter den Annahmen, die Dichte von Wasser und Kaffee sei identisch, Filter und Kanne zylindrische Körper und der Massenstrom des gefilterten Kaffees umgekehrt proportional zur Masse des eingefüllten Kaffeepulvers: , wobei

 

  1. Zeigen Sie mathematisch, dass das System nicht asymptotisch stabil ist. Was müsste nach erfolgreichem Lauf der Maschine mit dem Füllstand der Kanne passieren, wenn das System asymptotisch stabil wäre (ohne mathematische Begründung)?
  2. Angenommen, der Füllstand der Kaffeekanne wird kontinuierlich gemessen. Ausserdem ist das Eingangssignal (der zugeführte Wasserstrom) bekannt. Kann damit auf den Füllstand des Kaffeefilters geschlossen werden (mathematische Begründung)?
  3. Bei einer realen Kaffeemaschine kann eine volle Kaffeekanne allein durch Beeinflussung des zugeführten Wasserstroms nicht mehr geleert werden. Ihr Kollege behauptet nun, nach den Ergebnissen seiner Systemanalyse müsste dies jedoch möglich sein. Wie ist er vermutlich vorgegangen? Hat er sich verrechnet? Falls nicht: entdecken Sie bei ihm einen Denkfehler?

Inhalte erstellen: