Komplexe Zahlen setzen sich aus zwei Teilen (Realteil und Imaginärteil) zusammen und werden in einer "komplexen" Zahlenebene $\mathbb{C}$ dargestellt. Mit ihrer Hilfe lassen sich Gleichungen lösen, die in $\mathbb{R}$ nicht gelöst werden können. Z. B.: $x^2=-1$
Anwendung finden die komplexen Zahlen in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften, wo sie das rechnen erheblich vereinfachen.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen setzen sich aus zwei Teilen (Realteil und Imaginärteil) zusammen und werden in einer "komplexen" Zahlenebene <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{C}" style="vertical-align: -0.043ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.631ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -702 722 721" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-D-2102" d="M684 131Q684 125 672 109T633 71T573 29T489 -5T386 -19Q330 -19 276 -3T174 46T91 134T44 261Q39 283 39 341T44 421Q66 538 143 611T341 699Q344 699 364 700T395 701Q449 698 503 677T585 655Q603 655 611 662T620 678T625 694T639 702Q650 702 657 690V481L653 474Q640 467 628 472Q624 476 618 496T595 541Q562 587 507 625T390 663H381Q337 663 299 625Q212 547 212 336Q212 249 233 179Q274 30 405 30Q533 30 641 130Q658 147 666 147Q671 147 677 143T684 131ZM250 625Q264 643 261 643Q238 635 214 620T161 579T110 510T79 414Q74 384 74 341T79 268Q89 213 113 169T164 101T217 61T260 39L277 34Q270 41 264 48Q199 111 181 254Q178 281 178 344T181 434Q200 559 250 625ZM621 565V625Q617 623 613 623Q603 619 590 619H575L588 605Q608 583 610 579L621 565Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-27-TEX-D-2102"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> dargestellt. Mit ihrer Hilfe lassen sich Gleichungen lösen, die in <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{R}" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 722 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-28-TEX-D-211D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> nicht gelöst werden können. Z. B.: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x^2=-1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.116ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3587.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-29-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-29-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(572, 363) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1253.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2309.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3087.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-29-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>
Anwendung finden die komplexen Zahlen in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften, wo sie das rechnen erheblich vereinfachen.

Grundlagen der Komplexen Zahlen

<p>zur Erinnerung: $\mathbb{R}[x] = \Bigg\{ \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\cdot x^k}=a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+\dots +a_n\cdot x^n :\ n \in\mathbb{N}_0 ,\ a_k\in\mathbb{R} : \forall k\in\mathbb{N}_0\Bigg\}$</p>


<p>zur Erinnerung: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{R}[x] = \Bigg\{ \sum\limits_{k=0}^{n}{a_k\cdot x^k}=a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+\dots +a_n\cdot x^n :\ n \in\mathbb{N}_0 ,\ a_k\in\mathbb{R} : \forall k\in\mathbb{N}_0\Bigg\}" style="vertical-align: -2.827ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="84.295ex" height="6.785ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1749.5 37258.6 2999" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1-TEX-S4-7B" d="M661 -1243L655 -1249H622L604 -1240Q503 -1190 434 -1107T348 -909Q346 -897 346 -499L345 -98L343 -82Q335 3 287 87T157 223Q146 232 145 236Q144 240 144 250Q144 265 145 268T157 278Q242 333 288 417T343 583L345 600L346 1001Q346 1398 348 1410Q379 1622 600 1739L622 1750H655L661 1744V1727V1721Q661 1712 661 1710T657 1705T648 1700T630 1690T602 1668Q589 1659 574 1643T531 1593T484 1508T459 1398Q458 1389 458 1001Q458 614 457 605Q441 435 301 316Q254 277 202 251L250 222Q260 216 301 185Q443 66 457 -104Q458 -113 458 -501Q458 -888 459 -897Q463 -944 478 -988T509 -1060T548 -1114T580 -1149T602 -1167Q620 -1183 634 -1192T653 -1202T659 -1207T661 -1220V-1226V-1243Z"></path><path id="MJX-1-TEX-SO-2211" d="M61 748Q64 750 489 750H913L954 640Q965 609 976 579T993 533T999 516H979L959 517Q936 579 886 621T777 682Q724 700 655 705T436 710H319Q183 710 183 709Q186 706 348 484T511 259Q517 250 513 244L490 216Q466 188 420 134T330 27L149 -187Q149 -188 362 -188Q388 -188 436 -188T506 -189Q679 -189 778 -162T936 -43Q946 -27 959 6H999L913 -249L489 -250Q65 -250 62 -248Q56 -246 56 -239Q56 -234 118 -161Q186 -81 245 -11L428 206Q428 207 242 462L57 717L56 728Q56 744 61 748Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-1-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-22EF" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250ZM525 250Q525 274 542 292T585 310Q609 310 627 294T646 251Q646 226 629 208T586 190T543 207T525 250ZM972 250Q972 274 989 292T1032 310Q1056 310 1074 294T1093 251Q1093 226 1076 208T1033 190T990 207T972 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-1-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-1-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-1-TEX-N-2200" d="M0 673Q0 684 7 689T20 694Q32 694 38 680T82 567L126 451H430L473 566Q483 593 494 622T512 668T519 685Q524 694 538 694Q556 692 556 674Q556 670 426 329T293 -15Q288 -22 278 -22T263 -15Q260 -11 131 328T0 673ZM414 410Q414 411 278 411T142 410L278 55L414 410Z"></path><path id="MJX-1-TEX-S4-7D" d="M144 1727Q144 1743 146 1746T162 1750H167H183L203 1740Q274 1705 325 1658T403 1562T440 1478T456 1410Q458 1398 458 1001Q459 661 459 624T465 558Q470 526 480 496T502 441T529 395T559 356T588 325T615 301T637 284T654 273L660 269V266Q660 263 660 259T661 250V239Q661 236 661 234T660 232T656 229T649 224Q577 179 528 105T465 -57Q460 -86 460 -123T458 -499V-661Q458 -857 457 -893T447 -955Q425 -1048 359 -1120T203 -1239L183 -1249H168Q150 -1249 147 -1246T144 -1226Q144 -1213 145 -1210T153 -1202Q169 -1193 186 -1181T232 -1140T282 -1081T322 -1000T345 -897Q346 -888 346 -501Q346 -113 347 -104Q359 58 503 184Q554 226 603 250Q504 299 430 393T347 605Q346 614 346 1002Q346 1389 345 1398Q338 1493 288 1573T153 1703Q146 1707 145 1710T144 1727Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722,0)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1000,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1572,0)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-5D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2127.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3183.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-1-TEX-S4-7B"></use></g></g><g data-mml-node="munderover" transform="translate(4156.2,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(108,0)"><use data-c="2211" xlink:href="#MJX-1-TEX-SO-2211"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(0,-907.7) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(521,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1299,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(423.9,950) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(5595,0)"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D458"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1202.6,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1702.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8599,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(9654.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10842.6,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(11842.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13030.6,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13530.8,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14325,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(15325.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16513,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(17013.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(18244,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19244.2,0)"><use data-c="22EF" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-22EF"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(20638.4,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(21638.7,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(22897.1,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(23397.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(24754.4,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(25310.2,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(25560.2,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(26438,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(27382.7,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-2115"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(755,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(28541.3,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(28986,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(29236,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D458"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(30494.1,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(31438.9,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(32438.7,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(32994.5,0)"><use data-c="2200" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2200"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(33550.5,0)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-1-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(34349.3,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(35294,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-1-TEX-D-2115"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(755,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-1-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(36452.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7D" xlink:href="#MJX-1-TEX-S4-7D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Wenn man nun $i$ definiert mit der Eigenschaft: $i^2=-1$ kann man so den Körper der Komplexen Zahlen: $\mathbb{C}:=\mathbb{R}[i]=\{x+y\cdot i:\ x,y\in\mathbb{R}\}$ definieren.</p>


<p>Wenn man nun <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-2-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> definiert mit der Eigenschaft: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i^2=-1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.677ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3393.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-3-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-3-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1059.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2115.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2893.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-3-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> kann man so den Körper der Komplexen Zahlen: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{C}:=\mathbb{R}[i]=\{x+y\cdot i:\ x,y\in\mathbb{R}\}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.074ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 14176.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4-TEX-D-2102" d="M684 131Q684 125 672 109T633 71T573 29T489 -5T386 -19Q330 -19 276 -3T174 46T91 134T44 261Q39 283 39 341T44 421Q66 538 143 611T341 699Q344 699 364 700T395 701Q449 698 503 677T585 655Q603 655 611 662T620 678T625 694T639 702Q650 702 657 690V481L653 474Q640 467 628 472Q624 476 618 496T595 541Q562 587 507 625T390 663H381Q337 663 299 625Q212 547 212 336Q212 249 233 179Q274 30 405 30Q533 30 641 130Q658 147 666 147Q671 147 677 143T684 131ZM250 625Q264 643 261 643Q238 635 214 620T161 579T110 510T79 414Q74 384 74 341T79 268Q89 213 113 169T164 101T217 61T260 39L277 34Q270 41 264 48Q199 111 181 254Q178 281 178 344T181 434Q200 559 250 625ZM621 565V625Q617 623 613 623Q603 619 590 619H575L588 605Q608 583 610 579L621 565Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-4-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-4-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-4-TEX-N-7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2102" xlink:href="#MJX-4-TEX-D-2102"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(999.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3A"></use><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3D" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2333.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-4-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3055.6,0)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-5B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3333.6,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3678.6,0)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-5D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4234.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5290.1,0)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-7B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5790.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6584.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(7584.6,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8296.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8797,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9419.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-3A"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(9975.6,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10225.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10797.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11242.2,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-4-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12010,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(12954.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-4-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13676.8,0)"><use data-c="7D" xlink:href="#MJX-4-TEX-N-7D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> definieren.</p>


<p>Das ein reelles Polynom über $i$ zu einer Linearkombination vereinfacht liegt daran, dass dir funktion: $\begin{cases} \mathbb{N}_0 &amp;\to\ \mathbb{C} \\ n &amp;\mapsto\ i^n \end{cases}$   4-periodisch ist, und, $i^0=1$,   $i^1=i$,   $i^2=-1$,   $i^3=i^2\cdot i=-i$ gillt.</p>


<p>Das ein reelles Polynom über <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> zu einer Linearkombination vereinfacht liegt daran, dass dir funktion: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{cases} \mathbb{N}_0 &\to\ \mathbb{C} \\ n &\mapsto\ i^n \end{cases}" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.965ex" height="5.428ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1449.5 5288.6 2399" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-6-TEX-S3-7B" d="M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 254L188 251L205 242Q290 200 345 138T416 3Q421 -18 421 -48T423 -349Q423 -397 423 -472Q424 -677 428 -694Q429 -697 429 -699Q434 -722 443 -743T465 -782T491 -816T519 -845T548 -868T574 -886T595 -899T610 -908L616 -910Q618 -912 618 -928V-943Z"></path><path id="MJX-6-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-A0" d=""></path><path id="MJX-6-TEX-D-2102" d="M684 131Q684 125 672 109T633 71T573 29T489 -5T386 -19Q330 -19 276 -3T174 46T91 134T44 261Q39 283 39 341T44 421Q66 538 143 611T341 699Q344 699 364 700T395 701Q449 698 503 677T585 655Q603 655 611 662T620 678T625 694T639 702Q650 702 657 690V481L653 474Q640 467 628 472Q624 476 618 496T595 541Q562 587 507 625T390 663H381Q337 663 299 625Q212 547 212 336Q212 249 233 179Q274 30 405 30Q533 30 641 130Q658 147 666 147Q671 147 677 143T684 131ZM250 625Q264 643 261 643Q238 635 214 620T161 579T110 510T79 414Q74 384 74 341T79 268Q89 213 113 169T164 101T217 61T260 39L277 34Q270 41 264 48Q199 111 181 254Q178 281 178 344T181 434Q200 559 250 625ZM621 565V625Q617 623 613 623Q603 619 590 619H575L588 605Q608 583 610 579L621 565Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-6-TEX-N-21A6" d="M95 155V109Q95 83 92 73T75 63Q61 63 58 74T54 130Q54 140 54 180T55 250Q55 421 57 425Q61 437 75 437Q88 437 91 428T95 393V345V270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H95V155Z"></path><path id="MJX-6-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-6-TEX-S3-7B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(750,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,600)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-6-TEX-D-2115"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(755,-150) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2158.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2192"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(1277.8,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1527.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2102" xlink:href="#MJX-6-TEX-D-2102"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-600)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D45B"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2158.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="21A6" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-21A6"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(1277.8,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-A0"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1527.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5288.6,0) translate(0 250)"></g></g></g></g></svg></mjx-container>   4-periodisch ist, und, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i^0=1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.917ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2615.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-7-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-7-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-7-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1059.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2115.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-7-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>,   <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i^1=i" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.566ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2460.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1059.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2115.1,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container>,   <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i^2=-1" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.677ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3393.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-9-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-9-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1059.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2115.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2893.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container>,   <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="i^3=i^2\cdot i=-i" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.526ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 6420.7 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-10-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1059.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2115.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3118.9,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3619.1,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4241.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5297.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6075.7,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gillt.</p>


<p>Beweis:</p>
<table style="border-collapse: collapse; width: 100%;" border="1">
<tbody>
<tr>
<td style="width: 6.96452%;">IB:</td>
<td style="width: 20.6378%; text-align: right;"> $\forall n,k\in\mathbb{N}_0:$</td>
<td style="width: 72.3977%;">$i^n=i^{n+4\cdot k}$</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 6.96452%;">IA:</td>
<td style="width: 20.6378%; text-align: right;">$n=0:$</td>
<td style="width: 72.3977%;">$i^n=1,\ i^{n+4\cdot k}=i^{4\cdot k}=(i^4)^k=1^k=1$</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 6.96452%;">IV:</td>
<td style="width: 20.6378%; text-align: right;">$\text{Sei}\ n\in\mathbb{N}_0:$</td>
<td style="width: 72.3977%;">$i^n=i^{n+4\cdot k}$</td>
</tr>
<tr>
<td style="width: 6.96452%;">IS:</td>
<td style="width: 20.6378%; text-align: right;">$n\to n+1:$</td>
<td style="width: 72.3977%;">$i^{n+1+4\cdot k}=i^{n+4\cdot k}\cdot i \stackrel{\text{IV}}{=} i^n\cdot i=i^{n+1}$</td>
</tr>
</tbody>
</table>


<p>Grundrechenarten über $\mathbb{C}:</p>


<p>Grundrechenarten über <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathbb{C}:
" style="vertical-align: -0.043ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="1.631ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -702 1277.8 721" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-19-TEX-D-2102" d="M684 131Q684 125 672 109T633 71T573 29T489 -5T386 -19Q330 -19 276 -3T174 46T91 134T44 261Q39 283 39 341T44 421Q66 538 143 611T341 699Q344 699 364 700T395 701Q449 698 503 677T585 655Q603 655 611 662T620 678T625 694T639 702Q650 702 657 690V481L653 474Q640 467 628 472Q624 476 618 496T595 541Q562 587 507 625T390 663H381Q337 663 299 625Q212 547 212 336Q212 249 233 179Q274 30 405 30Q533 30 641 130Q658 147 666 147Q671 147 677 143T684 131ZM250 625Q264 643 261 643Q238 635 214 620T161 579T110 510T79 414Q74 384 74 341T79 268Q89 213 113 169T164 101T217 61T260 39L277 34Q270 41 264 48Q199 111 181 254Q178 281 178 344T181 434Q200 559 250 625ZM621 565V625Q617 623 613 623Q603 619 590 619H575L588 605Q608 583 610 579L621 565Z"></path><path id="MJX-19-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2102" xlink:href="#MJX-19-TEX-D-2102"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(999.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-19-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

<p>Addition:</p>
<p>$(x_1+y_1\cdot i)+(x_2+y_2\cdot i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\cdot i$</p>
<p>Assoziativität der Addition.</p>


<p>Addition:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x_1+y_1\cdot i)+(x_2+y_2\cdot i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\cdot i" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="51.409ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 22723 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-20-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-20-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-20-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1619.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2620,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3768.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4269,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4614,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5225.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6225.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(6614.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7845.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8845.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9994.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10494.4,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10839.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11506.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12562,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(12951,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14181.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(15182,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16190.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16801.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(17802,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(18191,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19339.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(20340,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(21266.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(21877.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-20-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(22378,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-20-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Assoziativität der Addition.</p>


<p>Subtraktion:</p>
<p>$(x_1+y_1\cdot i)-(x_2+y_2\cdot i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)\cdot i$</p>
<p>Umnkehrung der Addition.</p>


<p>Subtraktion:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x_1+y_1\cdot i)-(x_2+y_2\cdot i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)\cdot i" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="51.409ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 22723 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-21-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-21-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1619.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2620,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3768.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4269,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4614,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5225.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6225.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(6614.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7845.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8845.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9994.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10494.4,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10839.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11506.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12562,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(12951,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(14181.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(15182,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16190.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16801.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(17802,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(18191,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19339.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(20340,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(21266.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(21877.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-21-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(22378,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-21-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Umnkehrung der Addition.</p>


<p>Multiplikation</p>
<p>$(x_1+y_1\cdot i)\cdot(x_2+y_2\cdot i)=(x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2)+(x_2\cdot y_1+x_1\cdot y_2)\cdot i$</p>
<p>Distributivität bzgl Addition und Multiplikation.</p>


<p>Multiplikation</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(x_1+y_1\cdot i)\cdot(x_2+y_2\cdot i)=(x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2)+(x_2\cdot y_1+x_1\cdot y_2)\cdot i" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="65.572ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 28983 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-22-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-22-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-22-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-22-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-22-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1619.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2620,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3768.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4269,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4614,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5225.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5725.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(6114.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7345.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(8345.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9494.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9994.4,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10339.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11006.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12062,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(12451,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13681.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(14182,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(15412.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(16413,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(17561.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(18062,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(18988.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19599.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(20600,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(20989,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(22219.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(22720,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(23868.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(24869,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(26099.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(26600,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(27526.5,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(28137.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-22-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(28638,0)"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-22-TEX-I-1D456"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Distributivität bzgl Addition und Multiplikation.</p>


<p>Division:</p>
<p>$\frac{x_1+y_1\cdot i}{x_2+y_2\cdot i}=\frac{(x_1+y_1\cdot i)\cdot (x_2-y_2\cdot i)}{(x_2+y_2\cdot i)\cdot (x_2-y_2\cdot i)}=\frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+(x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2)\cdot i}{x_2^2+y_2^2}=\Big(\frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{x_2^2+y_2^2}\Big)+\Big(\frac{x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2}{x_2^2+y_2^2}\Big)\cdot i$</p>


Komplexe Zahlen

Grundrechenarten

Kartesische- und Polarkoordinaten (Euler)

Potenzieren

Wurzelziehen (Formel von Moivre)

Komplexe Gleichungen

Komplexe Menge