Lineare Unabhängigkeit

Theorie: Lineare Unabhängigkeit prüfen

Lineare Unabhängig

 

Vektoren, Matrizen oder Funktionen (z.B. ) heißen linear unabhängig, wenn kein Vektor das Vielfache eines anderen Vektors ist und sich auch nicht durch eine beliebige Kombination der anderen Vektoren erzeugen lässt.

 

Mathematisch: Die Linearkombination besitzt nur für eine Lösung.

Zur Untersuchung nutze:

Lineare Unabhängigkeit prüfen

 
  1. Überführe die Fragestellung in eine Matrix. Unterscheide dabei wie für:
    • Vektoren: Schreibe jeden Vektor als eine Spalte in eine Matrix. Zum Beipiel:



    • Matrizen: Schreibe jede Matrix in eine Spalte. Achte dabei darauf, dass jede Spalte alle Element der jeweiligen Matrix in der selben Reihenfolge beinhaltet. Zum Beispiel:



    • Funktionen: Bilde die Linearkombination der gegebenen Funktionen: .

      Wähle nun unterschiedliche Werte für oder führe einen Koeffizientenvergleich durch, um Gleichungen für zu erhalten. Aus dem daraus entstandenen Gleichungssystem erhälst du die Matrix . Zum Beispiel:



  2. Untersuche die aufgestellte Matrix:

    • Bestimme den Rang der Matrix (Zeilenstufenform bilden und Nichtnullzeilen zählen). Der Rang entspricht der Anzahl linear unabhängiger Vektoren/Funktionen/Matrizen.

    • Falls eine quadratische - Matrix ist, kannst du auch eine Aussage über die Determinante treffen. Für den Fall liegt lineare Abhängigkeit vor.

    • Das Vorgehen über die Determinante liefert nur eine Aussage darüber, ob lineare (Un)abhängigkeit vorliegt, jedoch nicht darüber wie viele Elemente linear unabhängig sind*.

Tipps:

  • Falls die zu untersuchenden Elemente Parameter enthalten: Stelle die Matrix so auf, dass die Parameter möglichst weit unten rechts liegen (einfachere Rechnung).
  • Einzelne Vektoren (mit Ausnahme des Nullvektors) sind für sich genommen immer linear unabhängig.
  • Liegt die Anzahl der gegebenen Vektoren über der Dimension (Beispiel 4 Vektoren aus ), so liegt immer lineare Abhängigkeit vor.
  • Enthält die gegebene Menge den Nullvektor (bzw. die Nullmatrix), so liegt sofort lineare Abhängigkeit vor.

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