Lineare Unabhängigkeit

Lineare Unabhängigkeit prüfen

1. Überführe die Fragestellung in eine Matrix. Unterscheide dabei wie für:
   
   • Vektoren: Schreibe jeden Vektor als eine Spalte in eine Matrix. Zum Beipiel:

     
     
     

   • Matrizen: Schreibe jede Matrix in eine Spalte. Achte dabei darauf, dass jede Spalte alle Element der jeweiligen Matrix in der selben Reihenfolge beinhaltet. Zum Beispiel:

     
     
     

   • Funktionen: Bilde die Linearkombination der gegebenen Funktionen: .

     Wähle nun unterschiedliche Werte für oder führe einen Koeffizientenvergleich durch, um Gleichungen für zu erhalten. Aus dem daraus entstandenen Gleichungssystem erhälst du die Matrix . Zum Beispiel:

     
     
     

2. Untersuche die aufgestellte Matrix:

   • Bestimme den Rang der Matrix (Zeilenstufenform bilden und Nichtnullzeilen zählen). Der Rang entspricht der Anzahl linear unabhängiger Vektoren/Funktionen/Matrizen.
     
     

   • Falls eine quadratische - Matrix ist, kannst du auch eine Aussage über die Determinante treffen. Für den Fall liegt lineare Abhängigkeit vor.
     
     

   • Das Vorgehen über die Determinante liefert nur eine Aussage darüber, ob lineare (Un)abhängigkeit vorliegt, jedoch nicht darüber wie viele Elemente linear unabhängig sind*.

Tipps:

• Falls die zu untersuchenden Elemente Parameter enthalten: Stelle die Matrix so auf, dass die Parameter möglichst weit unten rechts liegen (einfachere Rechnung).
• Einzelne Vektoren (mit Ausnahme des Nullvektors) sind für sich genommen immer linear unabhängig.
• Liegt die Anzahl der gegebenen Vektoren über der Dimension (Beispiel 4 Vektoren aus ), so liegt immer lineare Abhängigkeit vor.
• Enthält die gegebene Menge den Nullvektor (bzw. die Nullmatrix), so liegt sofort lineare Abhängigkeit vor.