Höhere Ordnungen

Theorie:

Lineare homogene DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Höhere Ordnung bezieht sich auf die höchste Ableitung. Das bedeutet, wir haben es hier mit DGLs zu tun, die nicht nur die erste Ableitung der gesuchten Funktion beinhalten.

Definition

Lineare DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Eine lineare DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form:  ,
wobei , und eine beliebige Funktion ist.

Wenn , ist die Gleichung homogen, ansonsten inhomogen.

Vorgehen

Lineare homogene DGL höherer Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)

Für das Bestimmen der allgemeinen Lösung der DGL kannst du wie im Folgenden vorgehen:

  1. Stelle zunächst die entsprechende lineare, homogene DGL auf:


  2. Setze nun in die homogene DGL ein. Dieser Ansatz nennt sich Euler-Ansatz. Nach etwas Umformen erhältst du dann: 

    Die linke Seite der Gleichung heißt charakteristisches Polynom der DGL.

  3. ist jetzt Lösung der homogenen DGL, falls Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Deswegen musst du jetzt alle Nullstellen des Polynoms bestimmen. steht für die Vielfachheit der Nullstelle .

  4. Die homogene Lösung einer linearen DGL -ter Ordnung besteht aus Summanden. Diese kannst du durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen.
    • Wenn diese Nullstellen reell sind, summierst du die Terme aller Eigenwerte wobei jeder Eigenwert mit Vielfachheit folgende Summe beisteuert:
    • Bei einer komplexen Nullstelle ist es die Summe

      Wichtig: Für die komplex konjugierte Nullstelle musst du keine weiteren Summanden hinzufügen.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Gegeben sei die folgende Differentialgleichung 3-ter Ordnung:

Bestimme ein mögliches Fundamentalsystem und die Lösungsgesamtheit dieser Differentialgleichung.

Aufgabe 2

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Aufgabe 3

Gegeben sei die folgende Differentialgleichung 2-ter Ordnung:

Bestimme die Lösungsgesamtheit (Fundamentalsystem) dieser Differentialgleichung.

Aufgabe 4

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Aufgabe 5

Bestimme die Lösung des folgenden Anfangswertproblems 3-ter Ordnung:

Aufgabe 6

Gegeben sei die folgende Differentialgleichung 3-ter Ordnung:

  1.  Bestimme den Koeffizienten mithilfe der Vorgabe, dass eine Fundamentallösung ist.
  2.  Bestimme die Lösungsgesamtheit dieser Differentialgleichung für den ermittelten Wert von .

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