Gebietsintegrale

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    Aufgabe 1

    Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius , dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Also das Integral:

     

      mit

     

    Fertige eine Skizze an und rechne jeweils:

    1.  mit kartesischen Koordinaten

    2. mit Polarkoordinaten

    Die Aufgabe soll verdeutlichen, welchen Vorteil Polarkoordinaten gegenüber kartesischen Koordinaten haben können.

    Aufgabe 2

    Ein Dreieck wird durch die drei Punkte gebildet. Fertige eine Skizze an und berechne anschließend den Flächeninhalt über ein Doppelintegral.

    Aufgabe 3

    Bestimme das folgende Integral über eine Transformation in Polarkoordinaten. Dabei ist ein gegebener Körper mit den Eigenschaften:

     

    Aufgabe 4

    Berechne das Volumen des folgenden Ellipsoiden :

     

     

    mit

    Aufgabe 5

    Bestimme das Volumen und den Schwerpunkt des Körpers in -Richtung. Dabei ist die Dichte des Körpers konstant und es gilt:

     

     

    Hinweis: Nutze für den Schwerpunkt

    Aufgabe 6

    Berechne das Integral:

     

     

    mit   

    Aufgabe 7

    Berechne mit: 

     

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