Gebietsintegrale

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Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius , dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Also das Integral:

 

  mit

 

Fertige eine Skizze an und rechne jeweils:

1.  mit kartesischen Koordinaten

2. mit Polarkoordinaten

Die Aufgabe soll verdeutlichen, welchen Vorteil Polarkoordinaten gegenüber kartesischen Koordinaten haben können.

Aufgabe 2

Ein Dreieck wird durch die drei Punkte gebildet. Fertige eine Skizze an und berechne anschließend den Flächeninhalt über ein Doppelintegral.

Aufgabe 3

Bestimme das folgende Integral über eine Transformation in Polarkoordinaten. Dabei ist ein gegebener Körper mit den Eigenschaften:

 

Aufgabe 4

Berechne das Volumen des folgenden Ellipsoiden :

 

 

mit

Aufgabe 5

Bestimme das Volumen und den Schwerpunkt des Körpers in -Richtung. Dabei ist die Dichte des Körpers konstant und es gilt:

 

 

Hinweis: Nutze für den Schwerpunkt

Aufgabe 6

Berechne das Integral:

 

 

mit   

Aufgabe 7

Berechne mit: 

 

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