Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius $R$, dessen Mittelpunkt im Ursprung $(0,0)$ liegt. Also das Integral: $\quad A=\iint_{K} d x d y$  mit $K=\left\{(x, y)^{T} \mid x^{2}+y^{2} \leq R^{2}, R&gt;0\right\}$ Fertige eine Skizze an und rechne jeweils:1.  mit kartesischen Koordinaten2. mit Polarkoordinaten Die Aufgabe soll verdeutlichen, welchen Vorteil Polarkoordinaten gegenüber kartesischen Koordinaten haben können.

Ein Dreieck wird durch die drei Punkte $A(-4 /-4), B(4 / 2), C(0 / 4)$ gebildet. Fertige eine Skizze an und berechne anschließend den Flächeninhalt über ein Doppelintegral.

Ein Dreieck wird durch die drei Punkte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A(-4 /-4), B(4 / 2), C(0 / 4)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.133ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 11992.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11068-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-11068-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(750, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1139, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1917, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2417, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3139.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4139.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4639.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5028.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5473.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6232.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6621.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(7121.1, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7621.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8121.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8510.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8954.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9714.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10103.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(10603.8, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11103.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11603.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-11068-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gebildet. Fertige eine Skizze an und berechne anschließend den Flächeninhalt über ein Doppelintegral.

Bestimme das folgende Integral über eine Transformation in Polarkoordinaten. Dabei ist $K$ ein gegebener Körper mit den Eigenschaften: $K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x+y \geq 1, y \leq x\right\}$
 
\begin{align*}\quad \underset{K}{\iint} \frac{y}{x} \ d x \ d y\end{align*}

Berechne das Volumen des folgenden Ellipsoiden $E$: \begin{align*}\quad E&amp;=\left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right\}\end{align*} mit $a,b,c &gt; 0$

Bestimme das Volumen und den Schwerpunkt des Körpers $K$ in $z$-Richtung. Dabei ist die Dichte des Körpers konstant und es gilt:
 
$$\quad K:=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x+y+\sqrt{z} \leq 1\right\}$$
 
Hinweis: Nutze für den Schwerpunkt
$$\quad z_{S}=\frac{1}{V} \int z d V$$

Berechne das Integral:
 
\begin{align*} \quad \underset{K}{\iiint} \left(x z^{2}+2 y\right) \ d x d y d z \end{align*}
 
mit $K=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq z \leq 3, x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} .$

Berechne $\underset{V}{\iiint} d x d y d z$ mit: 
 
$$\quad V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+\frac{(z-2)^{2}}{4} \leq 1, x^{2}+y^{2} \leq \frac{1}{4}\right\}$$

Gebietsintegrale

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Cholesky-Zerlegung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

QR-Zerlegung

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Zweigstromanalyse

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Basiswechselsatz

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Tilgungsrechnung

Rentenrechnung

Abschreibungsrechnung

Anwendungen in der elementaren Finanzmathematik

Zins- und Barwertrechnung

Erlös-, Gewinn- und Kostenfunktion

Konsumenten- und Produzentenrente

Ökonomische Anwendung

Integralrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Differentialrechnung

Produktionsfunktion

Kostenfunktion

Umsatz-, Gewinn-, Ausgabenfunktion

Preis-Absatz-Funktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Prozentrechnung

Umrechnung von Einheiten

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Grundlagen

Trägheitsmomente

Flächenzentrifugalmoment

Flächenträgheitsmoment

Wiederstandsdeminsionierung 

Spannungteiler

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Abbildungen

Das bestimmte Integral und seine Eigenschaften

Anwendung der Differentialrechnung

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Beschleunigung

Bewegungsarten

Vereinfachung von Thermen

Hier findest du Aufgaben mit Lösungen und Theorie zu: Gebietsintegrale

Gebietsintegrale | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie